新课标下的高中数学概念教学研究

导读:新课标下的高中数学概念教学研究,数学学习的实质是数学认知结构的组织和重新组织,所谓数学认知结构,就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度,关于新学习内容的教学,在现代数学教学中,新学习内容一般是以数学知识结构的形式呈现的,数学知识结构是学生数学认知结构发展的客观基础,在数学认知结构的建构过程中起着外界客体的作用,数学认知结构的建构过程就是学生头脑中的数学认知结构不断接受外界数学知识结构

新课标下的高中数学概念教学研究

新课标下的高中数学概念教学研究

北京15中学 石拥军

一、 问题的提出

根据学习的认知理论,数学学习的实质是数学认知结构的组织和重新组织。所谓数学认知结构,就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度,结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点,组合成的一个具有内部规律的整体结构。

关于新学习内容的教学。布鲁纳认为,“不论我们选教什么学科,务必使学生理解该学科的基本结构。”因为教给学生学科基本结构“可以使学科更容易理解”;把知识“放进构造的很好的模式里面”更易记忆;学习模式有助于理解遇到的其他类似事物,有助于知识的迁移;强调学科结构能缩小高级知识和初级知识之间的差距。所以,在现代数学教学中,新学习内容一般是以数学知识结构的形式呈现的。数学知识结构是学生数学认知结构发展的客观基础,在数学认知结构的建构过程中起着外界客体的作用,数学认知结构的建构过程就是学生头脑中的数学认知结构不断接受外界数学知识结构的过程。数学知识结构和数学认知结构的关系如下图1

图1 数学知识结构和数学认知结构关系图

内化(主体的主观能动性) 数学认知结构

基本方式:同化和顺应

数学知识结构是数学概念、数学命题按照其内在联系展开的体系以及其中渗透的数学思想和包涵的数学方法相互关联而形成的网络结构。数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式,主要由原始概念和基本概念组成,是数学知识的最基本形式。数学概念间具有逻辑联系性。张奠宙在《数学教育学》中写到:“每一个数学概念从本质上说都是嵌进了一些数学概念的体系中。它从一些基础数学概念中得来,又为建立别的数学概念作基础。因此,它总是数学概念结构层次中的一个成分,与其它数学概念存在着包含、从属或并列关系。一个数学概念体系,又有一种整体的性质。因此,对于数学概念的理解,从心理学上可解释为要求能将它同化到一个适当的概念结构中去。即不仅需懂得本身的规定,而且要从它与其它数学概念的关系中去理解。” 数学命题描述的是经严格数学推理论证证实了的数学概念之间固有的关系。数学方法是包涵在数学概念和数学命题体系里,人们在数学研究、数学学习和问题解决等数学活动中的步骤、程序和格式。数学思想是渗透在数学概念和数学命题体系贯穿于一类数学方法中的带有普遍性的原则、策略和规律,是对数学概念和数学命题的本质认识,是该类数学方法的概括。

因此,数学方法是数学的“行为规则”,数学概念和数学命题的体系是数学的“躯体”,数学思想是数学的“灵魂”。他们之间的关系如图2

图2 数学概念、数学命题、数学方法和数学思想关系图

渗透

经过分析数学概念、数学命题、数学方法和数学思想的关系可以看到,数学概念是构建数学理论大厦的基石,是导出数学定理和数学法则的逻辑基础,是提高解题能力的前提,是数学学科的灵魂和精髓。数学概念教学是“双基”教学的核心,是数学教学的重要组成部分,必须引起足够重视。

高中数学课程标准指出:教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握,对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终,帮助学生逐步加深理解。由于数学高度抽象的特点,注重体现基本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程,在初步运用中逐步理解概念的本质。

长期以来,由于受应试教育的影响,不少教师重解题、轻概念,造成数学概念与解题脱节的现象。有些教师仅仅把数学概念看作一个名词,概念教学就是对概念作解释,要求学生记忆。而没有看到像函数、向量这样的概念,本质是一种数学观念,是一种处理问题的数学方法。一节“概念课”教完了,也就完成了它的历史使命,剩下的是赶紧解题,造成学生对概念含糊不清,一知半解,不能很好地理解和运用概念,严重影响了学生的解题质量。如何搞好新课标下的数学概念课教学?这是本文要研究解决的问题。

二、掌握数学概念的过程分析

研究表明,数学概念获得有两种主要方式:一种是学生由大量的同类事物的不同例证中,独立发现同类事物的关键特征。这种获得方式,在心理学上称为概念形成;另一种是直接向学生展示定义,利用原有认知结构中有关知识理解新概念。这种获得概念的方式,心理学中称为概念同化。概念形成要求学生由具体事实概括出新概念。这就需要从大量的具体例子出发,利用学生在实际经验中的生动事例,以归纳的方式概括出一类事物的本质属性,初步形成一个新概念。而概念同化要求学生利用旧知识导出新概念,即利用认知结构中的有关概念来学习,这是一种接受学习,是中学生学习数学概念的主要方式。由此表明,不论概念形成还是概念同化,都需要学生在数学思想的指导下运用一定的数学方法对客观事物和现象进行反复观察、对比、分析、综合,进而将它们结合成类,这种结合的产物便是数学概念。

掌握数学概念需要有一个过程。该过程大致可分为四个阶段:

第一阶段,概括。“概念形成主要依赖的是对感性材料的抽象概括,概念同化主要依赖的是对感性经验的抽象概括”。师生一起通过对具体事例或已掌握知识的分析,抽出事物的关键特征,摒弃非关键特征。

第二阶段,表述。对某类具有相同关键特征的事物命名,并使用学生能理解的方式陈述定义。

第三阶段,识别。在给出概念表述之后,教师应该区分学生对知识是理解记忆还是机械记忆,“是根据关键特征掌握概念,还是根据无关特征回答有关概念的问题。”教师可以举出一些与教材中叙述方式类似的新例子或不同于教材中叙述方式的新例子,帮助学生真正理解概念。

第四阶段 ,运用。“已经获得的概念可以在知觉水平上运用,也可以在思维水平上运用。” 在知觉水平上运用是指当遇到这类事物的特例时,能立即把它看作是一类事物的具体例子;在思维水平上运用是指“新的概念或命题被类属于包摄水平较高的原有概念或命题中,或一类已知事物的一个新的不大明显的代表被识别出来(在思维水平上分类)”。数学概念教学不仅要在知觉水平上运用,例如识别不同位置、不同颜色、不同内角的三角形;还要在思维水平上运用,如能够认识到正比例函数是一类一次函数等。在思维水平上运用数学概念是掌握数学概念关键特征的表现,更是培养学生逻辑思维能力的要求。《中学数学方法论》指出,“渗透整体思想,正确形成概念,并正确地运用概念来解释和理解数学内容,不能不成为最基本的要求之一。培养学生这种能力,就是在培养学生的逻辑思维能力,尽管它是逻辑思维能力中最基本的。”同时又指出,“概念的形成过程渗透了整体思想,在感性基础上运用分析、综合、抽象、概括,并进而得到本质认识的结果,教学中应尽量反映此过程。”

三、数学概念教学的原则

数学概念教学的主要目标之一是使学生通过概念的掌握与应用,最终理解和掌握概念获得过程中运用的数学思想和数学方法,只有当学生在数学思想和数学方法的高度上掌握了数学概念,才能真正

地形成数学能力。因此,在高中数学课堂教学中,教师应该做到如下几点:

1、在体验数学概念产生的过程中认识概念。

数学概念的引入,应从实际出发,创设情景,提出问题。通过与概念有明显联系、直观性强的例子,使学生在对具体问题的体验中感知概念,形成感性认识,通过对一定数量感性材料的观察、分析,提炼出感性材料的本质属性。如在“异面直线”概念的教学中,教师应先展示概念产生的背景,如长方体模型和图形,当学生找出两条既不平行又不相交的直线时,教师告诉学生像这样的两条直线就叫做异面直线,接着提出“什么是异面直线”的问题,让学生相互讨论,尝试叙述,经过反复修改补充后,给出简明、准确、严谨的定义:“我们把不在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线”。 在此基础上,再让学生找出教室或长方体中的异面直线,最后以平面作衬托画出异面直线的图形。学生经过以上过程对异面直线的概念有了明确的认识,同时也经历了概念发生发展过程的体验。

2、在挖掘新概念的内涵与外延的基础上理解概念

新概念的引入,是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因,很难一步到位,需要分成若干个层次,逐步加深提高。如三角函数的定义,经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程:(1)用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义;(2)用点的坐标表示的锐角三角函数的定义;(3)任意角的三角函数的定义。由此概念衍生出:(1)三角函数的值在各个象限的符号;(2)三角函数线;(3)同角三角函数的基本关系式; (4)三角函数的图象与性质;(5)三角函数的诱导公式等。可见,三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重,是整个三角部分的奠基石,它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用。“磨刀不误砍柴工”,重视概念教学,挖掘概念的内涵与外延,有利于学生理解概念。

3、在寻找新旧概念之间联系的基础上掌握概念。

数学中有许多概念都有着密切的联系,如平行线段与平行向量,平面角与空间角,方程与不等式,映射与函数等等,在教学中应善于寻找,分析其联系与区别,有利于学生掌握概念的本质。再如,函数概念有两种定义,一种是初中给出的定义,是从运动变化的观点出发,其中的对应关系是将自变量 的每一个取值,与唯一确定的函数值 对应起来;另一种高中给出的定义,是从集合、对应的观点出发,其中的对应关系是将原象集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来。从历史上看,初中给出的定义来源于物理公式,而函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,函数可用图象、表格、公式等表示,所以高中用集合与对应的语言来刻画函数,抓住了函数的本质属性,更具有一般性。认真分析两种函数定义,其定义域与值域的含义完全相同,对应关系本质也一样,只不过叙述的出发点不同,所以两种函数的定义,本质是一致的。当然,对于函数概念真正的认识和理解是不容易的,要经历一个多次接触的较长的过程。

4、在运用数学概念解决问题的过程中巩固概念。

数学概念形成之后,通过具体例子,说明概念的内涵,认识概念的“原型”,引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用,是数学概念教学的一个重要环节,此环节操作的成功与否,将直接影响学生的对数学概念的巩固,以及解题能力的形成。例如,当我们学习完“向量的坐标”这一概念之后,进行向量的坐标运算,提出问题:已知平行四边形 的三个顶点 的坐标分别是 ,试求顶点 的坐标。学生展开充分的讨论,不少学生运用平面解析几何中学过的知识(如两点间的距离公式、斜率、直线方程、中点坐标公式等),结合平行四边形的性质,提出了各种不同的解法,有的学生应用共线向量的概念给出了解法,还有一些学生运用所学过向量坐标的概念,把点 的坐标和向量 的坐标联系起来,巧妙地解答了这一问题。学生通过对问题的思考,尽快地投入到新概念的探索中去,从而激发了学生的好奇以及探索和创造的欲望,使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。除此之外,教师通过反例、错解等进行辨析,也有利于学生巩固概念。

高中数学新课标提出了与时俱进地认识“双基”的基本理念,概念教学是“双基”教学的重要组成部分,通过数学概念教学,使学生认识概念、理解概念、巩固概念,是数学概念教学的根本目的。通过概念课教学,力求使学生明确(1)概念的发生、发展过程以及产生背景;(2)概念中有哪些规定和限制的条件,它们与以前的什么知识有联系;(3)概念的名称、表述的语言有何特点;(4)概念有没有等价的叙述;(5)运用概念能解决哪些数学问题等。总之,在概念教学中,要根据新课标对概念教学的具体要求,创造性地使用教材。优化概念教学设计,把握

概念教学过程,真正使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造,达到认识数学思想和本质的目的。

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