导数及应用解答题

导读:导数及应用解答题11111111111,一.解答题(共30小题)1.设函数f(x)=,导数及应用解答题11111111111一.解答题(共30小题)1.设函数f(x)=﹣klnx,k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.2.已知函数f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数y=f

导数及应用解答题

导数及应用解答题11111111111

一.解答题(共30小题) 1.设函数f(x)=

﹣klnx,k>0.

(1)求f(x)的单调区间和极值;

(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点. 2.已知函数f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R). (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x+x(f'(x)+)在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围; (Ⅲ)求证:

×

33

2

×

2

×…×<(n≥2,n∈N).

处取得极值.

*

3.已知函数f(x)=ax+x(a∈R)在x=

(Ⅰ)确定a的值;

x

(Ⅱ)若g(x)=f(x)e,讨论g(x)的单调性. 4.设函数f(x)=lnx+a(1﹣x). (Ⅰ)讨论:f(x)的单调性;

(Ⅱ)当f(x)有最大值,且最大值大于2a﹣2时,求a的取值范围.

32

5.已知函数(fx)=ax+bx的图象经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.

(1)求实数a,b的值;

(2)若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值范围. 6.设函数f(x)=

(a∈R)

(Ⅰ)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(Ⅱ)若f(x)在[3,+∞)上为减函数,求a的取值范围.

2

7.已知函数f(x)=x+ax﹣lnx,a∈R.

(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;

(2)令g(x)=f(x)﹣x,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由; (3)当x∈(0,e]时,证明:

mx

22

8.设函数f(x)=e+x﹣mx.

(1)证明:f(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;

(2)若对于任意x1,x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1,求m的取值范围. 9.已知函数f(x)=+alnx(a≠0,a∈R)

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(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)的极值和单调区间;

(Ⅱ)若在区间[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)<0成立,求实数a的取值范围.

22

10.已知函数f(x)=﹣2(x+a)lnx+x﹣2ax﹣2a+a,其中a>0. (Ⅰ)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性; (Ⅱ)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.

11.设函数f(x)=ln(x+1)+a(x﹣x),其中a∈R, (Ⅰ)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由; (Ⅱ)若?x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范围. 12.设函数f(x)=lnx+,m∈R.

(Ⅰ)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值; (Ⅱ)讨论函数g(x)=f′(x)﹣零点的个数; (Ⅲ)若对任意b>a>0,13.设函数f(x)=lnx﹣

﹣bx

<1恒成立,求m的取值范围.

2

(Ⅰ)当a=b=时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)令F(x)=f(x)+

<x≤3),其图象上任意一点P(x0,y0)处切线

的斜率k≤恒成立,求实数a的取值范围;

(Ⅲ)当a=0,b=﹣1时,方程f(x)=mx在区间[1,e]内有唯一实数解,求实数m的取

值范围.

32

14.已知函数f(x)=x+ax+b(a,b∈R). (1)试讨论f(x)的单调性;

(2)若b=c﹣a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),求c的值.

15.己知函数f(x)=xe

(Ⅰ)求f(x)的极小值和极大值;

(Ⅱ)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.

32

16.函数f(x)=ax+3x+3x(a≠0). (Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.

17.设a为实数,函数f(x)=e﹣2x+2a,x∈R. (1)求f(x)的单调区间及极值;

x2

(2)求证:当a>ln2﹣1且x>0时,e>x﹣2ax+1.

n?

18.已知函数f(x)=nx﹣x,x∈R,其中n∈N,且n≥2. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x);

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x

2

﹣x

2

(Ⅲ)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x1,x2,求证:|x2﹣x1|<+2.

19.设函数f(x)=

﹣k(+lnx)(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数).

(Ⅰ)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.

2

20.设函数f(x)=(1+x)﹣2ln(1+x)

(1)若关于x的不等式f(x)﹣m≥0在[0,e﹣1]有实数解,求实数m的取值范围.

2

(2)设g(x)=f(x)﹣x﹣1,若关于x的方程g(x)=p至少有一个解,求p的最小值. (3)证明不等式:

2

x

(n∈N).

*

21.设a>1,函数f(x)=(1+x)e﹣a.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)证明f(x)在(﹣∞,+∞)上仅有一个零点;

(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行,(O是坐标原点),证明:m≤

2

﹣1.

,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底

22.设函数f(x)=ax﹣a﹣lnx,g(x)=﹣

数.

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)证明:当x>1时,g(x)>0;

(Ⅲ)确定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立. 23.设f(x)=xlnx﹣ax+(2a﹣1)x,a∈R. (Ⅰ)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间;

(Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围. 24.已知函数f(x)=x﹣alnx,g(x)=﹣

,(a∈R).

2

(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)的极值;

(Ⅱ)设函数h(x)=f(x)﹣g(x),求函数h(x)的单调区间;

(Ⅲ)若在[1,e](e=2.718…)上存在一点x0,使得f(x0)<g(x0)成立,求a的取值范围.

25.设函数f(x)=xe+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e﹣1)x+4,

(Ⅰ)求a,b的值;

(Ⅱ)求f(x)的单调区间.

2

26.已知函数f(x)=lnx﹣ax﹣bx.

(I)当a=﹣1时,若函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围; (Ⅱ)若f(x)的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2)两点,且AB的中点为C(x0,0),求证:f′(x0)<0.

27.已知函数f(x)=(x+1)lnx﹣x+1.

2

(Ⅰ)若xf′(x)≤x+ax+1,求a的取值范围;

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a﹣x

(Ⅱ)证明:(x﹣1)f(x)≥0. 28.已知函数f(x)=ln

(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (Ⅱ)求证,当x∈(0,1)时,f(x)>(Ⅲ)设实数k使得f(x)29.设函数f(x)=aelnx+

x

对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值. ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y=e

(x﹣1)+2. (Ⅰ)求a、b;

(Ⅱ)证明:f(x)>1.

2

30.设函数f(x)=x+aln(1+x)有两个极值点x1、x2,且x1<x2, (Ⅰ)求a的取值范围,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)证明:f(x2)>

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导数及应用解答题11111111111

参考答案

一.解答题(共30小题) 1. ;2. ;3. ;4. ;5. ;6. ;7. ;8. 91011121314151617;181920;21222324;252627;2829 ;;;;

30.

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