2003年高考复习第十三节相遇及追及问题

导读:2003年高考复习第十三节--相遇及追及问题,教学目标:1、进一步理解和掌握相遇及追及问题的解题方法,2、能灵活分析、解决相遇及追及问题,一.相遇及追及问题,追及问题是两个物体运动的问题,两物体相遇,这类问题如能选择好参照物,二.避碰问题,解析:相遇时,三.求解追击问题的常用方法,3.在追击问题中还常常用到求“面积”的方法,求两车再次相遇前两车相距最大距离和再次相遇时两车运动的时间,当两车相遇

2003年高考复习第十三节相遇及追及问题

2003年高考复习第十三节--相遇及追及问题

教学目标:1、进一步理解和掌握相遇及追及问题的解题方法

2、能灵活分析、解决相遇及追及问题

教学重点:物理过程的分析

教学难点:知识的灵活运用

一.相遇及追及问题

1.特点:

追及问题是两个物体运动的问题。两个物体的速度相等往往是解题的关键,此时两物体间的距离可能最大,也可能最小。

2.解题方法:

选同一坐标原点、同一正方向、同一计时起点,分别列出两个物体的位移方程及速度方程。

解题的关键是找出两物体间位移关系、速度关系。

当位移相等时,两物体相遇;两物体速度相等时,两物体相距最远或最近。这类问题如能选择好参照物,可使解题过程大大简化。巧用运动图象亦可使解题过程大大简化。

例1、车从静正开始以1m/s2的加速度前进,车后相距s0为25m处,某人同时开始以6m/s的速度匀速追车,能否追上?如追不上,求人、车间的最小距离。

解析:依题意,人与车运动的时间相等,设为t。当人追上车时,两者之间的位关系为:

s人+s0=s车

即: v人t+ s0= at2/2

由此方程求解t,若有解,则可追上;若无解,则不能追上。

代入数据并整理得:

t2-12t+50=0

△=b2-4ac=122-4×50×1=-56<0

所以,人追不上车。

在刚开始追车时,由于人的速度大于车的速度,因此人车间的距离逐渐减小;当车速当于人的速度时,人车间的距离逐渐增大。因此,当人车速度相等时,两者间距离最小。

at′=6

t′=6s

在这段时间里,人、车的位移分别为:

s人=v人t=6×6=36m

s车=at′2/2=1×62/2=18m

△s=s0+s车-s人=25+18-36=7m

练习:A、B两质点从同一位置沿同一方向同时开始运动,其v—t图线如图所示,则A、B相距最远的距离是______m,______s末B追上A,B追上A时的速度大小是_____m/s。

解:9m;6s;12m/s

例2、甲车在前以15m/s的速度匀速行驶,乙车在后以9m/s的速度行驶。当两车相距32m时,甲车开始刹车,加速度大小为1m/s2。问经多少时间乙车可追上甲车?

分析:乙此追上甲车可能有两种不同情况:甲车停止前被追及和甲车停止后被追及。究竟是哪一种情况,应根据解答结果,由实际情况判断。

解答:设经时间t追上。依题意:

v甲t-at2/2+L=v乙t

15t-t2/2+32=9t

t=16s t=-4s(舍去)

甲车刹车的时间

t′=v0/a=15s

显然,甲车停止后乙再追上甲。

甲车刹车的位移

s甲=v02/2a=152/2=112.5m

乙车的总位移

s乙=s甲+32=144.5m

t=s乙/v乙=144.5/9=16.06s

二.避碰问题

两物体恰能“避碰”的条件是:两物体在同一位置时,两物体的相对速度为0。

例、(《金版教程》P65 例3)为了安全,在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离.已知某高速公路的最高限速v=120km/h.假设前方车辆突然停止,后车司机从发现这一情况,经操纵刹车,到汽车开始减速所经历的时间(即反应时间)t=0.50s.刹车时汽车受到阻力的大小f为汽车重力的0.40倍.该高速公路上汽车间的距离s至少应为多少?取重力加速度g=10m/s2.(99·全国)

解析:相遇时,若后车与前车速度相等,则不会出相危险。

后车匀速运动的位移 s1=v0t=50/3 m

后车的加速度 a=f/m=μg=4m/s2

后车匀减速的位移 s2=v02/2a=138.9m

汽车间距 s=s1+s2=155.6m

三.求解追击问题的常用方法

(《金版教程》P62)

1、通过运动过程的分析,找到隐含条件,从而顺利列方程求解,例如:

⑴、匀减速物体追赶同向匀速物体时,能追上或恰好追不上的临界条件:

即将靠近时,追赶者速度等于被追赶者速度(即当追赶者速度大于被追赶者速度时,能追上;当追赶者速度小于被追赶者速度时,追不上)

⑵、初速为零的匀加速物体追赶同向匀速物体时,追上前两者具有最大距离的条件:追赶者的速度等于被追赶者的速度。

2.利用二次函数求极值的数学方法,根据物理现象,列方程求解。

3.在追击问题中还常常用到求“面积”的方法,它可以达到化繁为简,化难为易,直观形象的效果。

例1、甲乙两车同时同向从同一地点出发,甲车以v1=16m/s的初速度,a1=-2m/s2的加速度作匀减速直线运动,乙车以v2=4m/s的速度,a2=1m/s2的加速度作匀加速直线运动,求两车再次相遇前两车相距最大距离和再次相遇时两车运动的时间。

解法一:

两车同时同向出发,开始一段由于甲车速度大于乙车速度,将使两车距离拉开,由于甲车作匀减速运动,乙车作加速运动,总有某一时刻两车速度相同,此时两车相距最远,随着甲车进一步减速,乙车进一步加速,动车速度大于甲车速度,使两车距离变小,当乙车追上甲车时.两车运动位移相同。

当两车速度相同时,两车相距最远,此时两车运动时间为t1,两车速度为v

对甲车: v=v1+a1t1

对乙车: v=v2+a2t1

两式联立得 t1=(v1-v2)/(a1-a2)=4s

此时两车相距 △s=s1-s2=(v1t1+a1t12/2)- (v2t1+a2t12/2)=24m

当乙车追上甲车时,两车位移均为s,运动时间为t.则:

v1t+a1t2/2=v2t2+a2t2/2

得 t=8s 或t=0(出发时刻,舍去。)

解法二:

甲车位移 s1= v1t+a1t2/2

乙车位移 s2= v2t2+a2t2/2

某一时刻两车相距为△s

△s=s1-s2= (v1t+a1t2/2)-(v2t2+a2t2/2)

=12t-3t2/2

当t=-b/2a时,即t=4s时,两车相距最远

△s=12×4-3×42/2=24m

当两车相遇时,△s=0,即12t-3t2/2=0

∴ t=8s 或t=0(舍去)

例2、《金版教程》P62 例8

例3、(《金版教程》P52 例6)一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶,恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来,从后边超过汽车。试求:汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时距离是多少?

解法一、利用二次函数极值法求解

设经过时间t汽车和自行车之间的距离ΔS,由如图1可得

ΔS = S自 - S汽 =

v自t - at2 =6t -t2

二次函数求极值的条件可知:

当t= -=(s)= 2(s)时两车之间的距离有极大值,且ΔSma x =6×2 -×22 =6(m)

解法二、利用分析法求解

自行车在追击汽车的前一阶段过程中,由于汽车的速度小于自行车的速度,汽车与自行车之间的距离越来越大;当汽车的速度大于自行车的速度以后,汽车与自行车之间的距离便开始缩小,很显然,当汽车的速度与自行车的速度相等时,两车之间的距离最大。

由上述分析可知当两车之间的距离最大时有

v汽 =at = v自

∴ t ==(s)=2(s)

∵ΔSma x = S自 - S汽

∴ΔSma x = v自t - at2 =6×2 -×22 =6(m)

解法三、利用图象求解

θ

在同一V---t图中画出自行车和汽车的速度图线,如图2所示,其中Ⅰ表示自行车的速度图

线,Ⅱ表示汽车的速度图线,自行车的位移S自等于图线Ⅰ与时间轴围成的矩形的面积,而

汽车的位移S汽 则等于图线Ⅱ与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中矩

形的面积与三角形面积的差,不难看出,当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大,

即: ΔSma x =6t0 - t0×6 (1)

因为汽车的速度图线的斜率等于汽车的加速度大小

∴tgθ==a

∴ t0 ==(s)=2(s) (2)

由上面(1)、(2)两式可得ΔSma x =6 (m)

解法四、利用相对运动求解

选自行车为参照物,则从开始运动到两车相距最远这段过程中,汽车相对此参照物的各个物理量的分别为:v6m/s,a相 = -3 m/s2, v相末 = 0 。

由公式 2a相S相 = v相末2- v相初2 得 相初 =

S相 == =6(m)

练习:1、在一条公路上并排停着A、B两车,A车先启动,加速度a1=20m/s2,B车晚3s启动,加速度a2=30m/s2,以A启动为计时起点,问:在A、B相遇前经过多长时间两车相距最远?这个距离是多少?

解一、两车速度相等时,相距最远。

a1t=a2(t-3)

得 t=9s

∴ △s=a1t2/2-a2(t-3)2/2=270m

解二、 △s=a1t2/2-a2(t-3)2/2=-5t2+90t-135=-5(t2-18t+27)

二次项系数为负,有极大值。

△s=-5(t-9)2+270

当t=9s时,△s有极大值

△s=270m

解三、用图象法求。

作出v—t图如图。由图可知,在t=9s时相遇。△s即为图中斜三角形的面积。

△s=3×180/2=270m

2、A、B两车在一条水平直线上同向匀速行驶,B车在前,车速v2=10m/s,A车在后,车速72km/h,当A、B相距100m时,A车用恒定的加速度a减速。求a为何值时,A车与B车相遇时不相撞。 解一:作物理情景示意图如图所示。

对A: s1=v1t-at2/2 ① v2=v1-at ②

对B: s2=v2t ③

且 s1-s2=100m

由①、③得 100=20t-at2/2-10t=10t-at2/2 ④

由②、④得 t=20s a=0.5m/s2

解二、利用平均速度公式。

s1=(v1+v2)t/2=15t

s2=v2t=10t

s1-s2=15t-10t=100

∴ t=20s

由v2=v1-at得 a=0.5m/s2

解三、作出v—t图,如图。

图中三角形面积表示A车车速由20m/s到10m/s时,A比B多之的位移,即s1-s2=100m。 100=10×t/2 ∴ t=20s

|a|=tgθ=1/2=0.5m/s2

解四、以B车为参照物,用相对运动求解。

A相对于B车的初速度为10m/s,A以a减速,行驶100m后“停下”,跟B相遇而不相撞。 vt2=v02-2as

0=102-2a100

a=0.5m/s2

v2=v1-at

得 t=20s

教学后记:

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