七年级第二十九讲 最值问题_图文

导读:第二十九讲最值问题,是数学问题中的一种常见类型,我们经常碰到一些带有“最”字的问题,这些问题我们称之为最值问题,解这类问题的基本知识与基本方法有:1.穷举获取,解这类问题时,进而解出相关问题,第二十九讲最值问题求某个量、或者几个量的和、差、积、商的最大值和最小值,是数学问题中的一种常见类型,又在实际生活与生产实践中,我们经常碰到一些带有“最”字的问题,如投入最少、路程最短、材料最省等,这些问题

七年级第二十九讲  最值问题_图文

第二十九讲 最值问题

求某个量、或者几个量的和、差、积、商的最大值和最小值,是数学问题中的一种常见类型,又在实际生活与生产实践中,我们经常碰到一些带有“最”字的问题,如投入最少、路程最短、材料最省等,这些问题我们称之为最值问题,在现阶段,解这类问题的基本知识与基本方法有: 1.穷举获取;

2.运用非负数的性质; 3.利用不等分析逼近求解;

4.使用几何公理、定理、性质等.

解这类问题时,既要说明最值可以达到,又要证明不可能比所求的值更大(或更小),前者需构造一个恰当的例子,后者需要详细说理.

例题 【例1】 设自然数x,y,m,n满足条件

xym5

???,则x+y+m+n的最小值是 . ymn8

(湖北省黄冈市竞赛题)

思路点拨 把连等式拆开用,用一个字母的代数式表示另一个字母,利用隐含整除条件,分别求出x,y,m,n的最小值.

【例2】 设a、b、c满足a2+b2+c2=9,那么代数式(a一b)2+(b—c)2+(c一a)2的最大值是( ). A.27 B.18 C.15 D.12

(全国初中数学联赛题) 思路点拨 利用乘法公式,把代数式变形成与已知条件关联的式子,进而求出最大值. 【例3】 已知n、k均为自然数,且满足不等式

7n6??,若对于某一给定的自然数n,只有惟一13n?k11

的一个自然数k使不等式成立,求所有符合要求的自然数中的最大数和最小数.

(“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 解关于k的不等式组,利用已知条件的约束,通过穷举求出n的最大数与最小数.

注:解含等式、不等式组成的混合组的基本思路是:用消元法转化为只合有一个未知数的不等式(组),解不等式(组)来逼近这个未知数的值,进而解出相关问题

【例4】某人租用一辆汽车由A城前往B城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位:小时)如图所示.若汽车行驶的平均速度为80千米/时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元,试指出此人从A城出发到B城的最短路线,并求出所需费用最少为多少元?

(全国初中数学竞赛题)

思路点拨 即要求出此人从A城出发到B城的最短时间,而从A城到B城有多条线路,故只需一一列举,比较就可得出结论.

【例5】 某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品方案,准备每周(按120个工时计算)生产空调

问:每周生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高?最高产值是多少(以千元为单位)? (河南省竞赛题)

思路点拨 设每周生产空调器、彩电、冰箱各x台、y台、z台,产值为s,可得到关于x、y、z的混合方程组,通过消元,建立一元不等式组,通过解不等式组,确定相应字母取值范围,进而求出x的最大值.

学力训练

1.多项式些x2+y2一6x+8y+7的最小值为 .

(江苏省竞赛题)

2.在式子x??x?2?x?3?x?4中,用不同的x值代人,得到对应的值,在这些对应的值中,最小的值为 . 3.如果把分数

99

的分子、分母分别加上正整数a,b结果等于,那么a+b的最小值是 . (第713

15届江苏省竞赛题)

4.当x=且x2一2y2—2x+8y一5有最大值,这个最大值是 .

5.若a、b、c、d为整数,且b是正整数,满足b+c=d,c+d=a,a+b=c,那么a+b+c+d的最大值是( ). A.一1 B.一5 C .0 D.1

6.多项式5x2—4xy+4y2+12x+25的最小值为( ). A.4 B. 5 C .16 D.25

(“五羊杯”竞赛题) 7.已知

2x?15?3x

?1?x?,求x??x?的最大值和最小值. 32

8.某校举行庆祝“十六大”的文娱汇演,评出一等奖5个,二等奖l0个,三等奖15个.学校决定给获奖

(1)如果获奖等次越高,奖品单价就越高,那么学校最少要花多少钱买奖品?

(2)学校要求一等奖的奖品单价是二等奖奖品单价的5倍,二等奖的奖品单价是三等奖奖品单价的4倍,在总费用不超过1000元的前提下,有几种购买方案?花费最多的一种方案需要多少钱? (江苏泰州市试题)

9.现有某物质73吨,计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走,且每辆车都要装满,已知载重量7吨的卡车每台车运费65元,载重量5吨的卡车每台车运费50元,问最省运费是多少元? (重庆市竞赛题)

10.设m,n是非零自然数,并且19n2一98n—m=0,则m+n的最小值是 . (国家理科实验班招生试题)

11.设a1,a2,?,ak为k个互不相同的正整数,且a1+a2+?+ak=1995,那么k的最大值是 .

12.a、b、c是非负数,并且满足3a+2b+c=5,2a+b-3c=1,设m=3a+b-7c,设x为m的最小值,y为m的最大值,则xy=.

(2003年北京市竞赛题)

13.甲、乙两个粮库分别存粮600吨、1400吨,A、B两市分别用粮1200吨、800吨,需从甲、乙两粮库

调运,由甲库到A、B两市的运费分别为6元/吨、5元/吨;由 乙库到A、B两市的运费分别是9元/吨、6元/吨,则总运费最少需 元.

(北京市“迎春杯”竞赛题)

14.设a、b、c、d都是整数,且a<3b,b<5c,c<7d,d<30,则a的最大可能值是 ( ). A.3026 B.3029 C.3045 D.3150

(“数学新蕾”竞赛题)

15.某种出租车的收费标准是:起步价5元(即行驶距离不超过3千米都需付5元车费),超过3千米以后,每增加0.5千米,加收0.9元(不足0.5千米按0.5千米计).某人乘坐这种出租车从甲地到乙地共支付车费19.4元,则此人从甲地到乙地经过的路的最远可能值是( )千米. A.12 B.11 C.10 D.9

(重庆市竞赛题)

16.把一根lm长的金属线材,截成长为23cm和13cm的两种规格,用怎样的方案截取材料利用率最高?求

实际利用材料长度

出最高利用率.(利用率=?100%,截口损耗不计)

原材料长度 (江苏省竞赛题)

17.已知a1,a2,?,a2000的值都是+1或-1,设S是这2002个数的两两乘积之和. (1)求S的最大值和最小值,并指出能达到最大值、最小值的条件; (2)求S的最小正值,并指出能达到最小正值的条件.

(“我爱数学”夏令营竞赛题)

18.6盒火柴按“规则方式”打包,所谓“规则方式”是指每相邻2盒必须是以完全重合的面对接,最后得到的包装形状要是一个长方体.已知火柴盒的长、宽、高尺寸分别是:a=46mm,b=36mm,c=16mm,请你给出一种能使表面积最小的打包方式,并画出其示意图.

19.永强加工厂接到一批订单,为完成订单任务,需用a米长的材料440根,b米长的材料480根,可采购到的原料有三种,一根甲种原料可截得a米长的材料4根,6米长的材料8根,成本为60元;一根乙种原料可截得a米长的材料6根,b米长的材料2根,成本为50元;一根丙种原料可截得a米长的材料4根,b米长的材料4根,成本为40元.问怎样采购,可使材料成本最低?

(第六届北京市数学知识应用竞赛试题)

参考答案

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