2015年全国高中数学联赛(无答案)

导读:2015年全国高中数学联赛,一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分,请将答案填在答题卡的相应位置.,2015年全国高中数学联赛一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分,请将答案填在答题卡的相应位置.1.设a,b为不相等的实数,若二次函数f(x)?x2?ax?b满足f(a)?f(b),则f(2)的值是1?cos4?的值为sin?3.已知复数数列{zn}满足z1?1,zn?1?n

2015年全国高中数学联赛(无答案)

2015年全国高中数学联赛

一、 填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分,请将答案填在答题卡的相应位置.

1.设a,b为不相等的实数,若二次函数f(x)?x2?ax?b满足f(a)?f(b),则f(2)的值是

1?cos4?的值为 sin?

3.已知复数数列{zn}满足z1?1,zn?1?n?1?ni(n?1,2,?),其中i为虚数单位, n表示zn的共轭2.若实数?满足cos??tan?,则复数,则z2015的值是4.在矩形ABCD中,AB?2,AD?1,边DC上(包括点D,C)的动点P与CB延长线上(包括点B)的????????????????????????动点Q满足|DP|?|BQ|,则向量PA与向量PQ的数量积PA?PQ的最小值为

5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为

6.在平面直角坐标系xOy中,点集K?{(x,y)|(|x|?|3y|?6)(|3x|?|y|?6)?0}所对应的平面区域的面积为

7.设?为正实数,若存在a,b(??a?b?2?),使得sin?a?sin?b?2,则实数?的取值范围是

8.对四位数abcd(1?a?9,0?b,c,d?9),若a?b,b?c,c?d,则称abcd为P类数,若

a?b,b?c,c?d,则称abcd为Q类数,用N(P)与N(Q)分别表示P类数与Q类数的个数,则 N(P)?N(Q的值为 )

二、 本大题共3小题,共56分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

9(本小题满分16分)

若实数a,b,c满足2?4?2,4?2?4,求c的最小值.

10(本小题满分20分)

设a1,a2,a3,a4是四个有理数,使得{aiaj|1?i?j?4}?{?24,?2,?

的值.

11(本小题满分20分) abcabc31,?,1,3},求a1?a2?a3?a428

x2

?y2?1的左,右焦点,设不经过焦点F1的直线l与椭在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆2

圆C交于两个不同的点A,B,焦点F2到直线l的距离为d.如果直线AF1,l,BF1的斜率成等差数列,求d的取值范围.

加 试

本卷共4题,共180分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤

12(本小题满分40分)

设a1,a2,?,an(n?2)是实数,证明:可以连取?1,?2,?,?n?{1,?1}使得

(?a)i

i?1n2?(??iai)?(n?1)(?ai2) 2i?1i?1nn

13(本小题满分40分)

设S?{A1,A2,?,An},其中A1,A2,?,An是n个互不相同的有限集合(n?2),满足对任意 Ai,Aj?S,均有Ai?Aj?S,若k?min|Ai|?2,证明:存在x??Ai,使得x属于A1,A2,?,An中的1?i?nni?1

至少n个集合(这里|X|表示有限集合X的元素个数) k

14(本小题满分50分)

?上一点,点K在线段AP上,使得BK平分?ABC,过K,P,C三点如图,?ABC内接于圆O,P为BC

的圆?与边AC交于点D,连结BD交圆?于点E,连结PE并延长与边AB交于点F,证明: ?ABC?2?FCB

15(本小题满分50分)

求具有下述性质的所有正整数k:对任意正整数n,2

(k?1)n?1不整除(kn)!.

n!

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