函数定义域,值域,解析式

导读:函数定义域、值域、对应法则求法总结,一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围,求函数的定义域需要从这几个方面入手:,典例解析,1.求定义域,例1.求下列函数的定义域:,例2.已知f(x)的定义域为[-1,求f(2x-1)的定义域,2.定义域的作用,(1)判断两函数是否为同一函数,(2)将函数解析式变形或化简,例1.若函数y?ax2?ax?的定义域是R,二、值域是函数y=f(x)中y的取值

函数定义域,值域,解析式

函数定义域、值域、对应法则求法总结

一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手:

(1)分母不为零

(2)偶次根式的被开方数非负。

(3)x0中x?0

典例解析

1.求定义域

例1.求下列函数的定义域:

f(x)?4?x?1②f(x)?2x2?3x?4x?1?2③y?x?2?3?1x?7

例2.已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x-1)的定义域。

2. 定义域的作用

(1)判断两函数是否为同一函数

(2)将函数解析式变形或化简

(3)求参数的值或取值范围

例1.若函数y?ax2?ax?的定义域是R,求实数a 1

a

例2.求x=( -??+??

??????? ?????)2的个位数字。

例3.设等式 ??(?????) + ??(?????) = ? 在R内成立,其中a,x,y是两两不等的实数,求

??????+????????????????+??

二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。

常用的求值域的方法:

(1)直接法(2)图象法(数形结合)(3)函数单调性法

(4)配方法(5)换元法(包括三角换元)

以后还将学习到

(6)反函数法(逆求法)

(7)分离常数法(8)判别式法(9)复合函数法

(10)不等式法(11)平方法等等

这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

1.求值域问题

一定要先观察定义域

解题思路:将原函数转化为常见函数的值域来求

一次函数y=ax+b(a?0)的定义域为R,值域为R; 反比例函数y?k(k?0)的定义域为{x|x?0},值域为{y|y?0}; x

二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的定义域为R,

22(4ac?b)(4ac?b)}. 当a>0时,值域为{y|y?};当a<0时,值域为{y|y?4a4a

(1)直接法

例1求下列函数的值域

① y=3x+2(-1?x?1)

2 f(x)??1?x?3)3xy?x?1(记住图像) x

例2 求下列函数的值域:

③ y?x2?4x?1;②y?x2?4x?1,x?[3,4]

③y?x2?4x?1,x?[0,1];④y?x2?4x?1,x?[0,5];

注:对于二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0),

⑴若定义域为R时,

①当a>0时,则当x??2b时,其最小值ymin?(4ac?b); 2a4a

2b(4ac?b). ②当a<0时,则当x??时,其最大值ymax?2a4a

⑵若定义域为x? [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].

①若x0?[a,b],则f(x0)是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,

再比较f(a),f(b)的大小决定函数的最大(小)值.

②若x0?[a,b],则[a,b]是在f(x)的单调区间内,只需比较f(a),f(b)的大小即可决定函数的最大(小)值.

(3)①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;

②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

(2)图象法:分段函数

例3 求y?x?3?x? 的值域。

?3x?5(x?0)?f(x)??x?5(0?x?1)

??2x?8(x?1)?例4 已知函数f(x)的解析式为

例5 求y= ????+????+?? 的值域。

(3)配方法:函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时

例6.求y= ???

的值域。

(4) 换元法:注意新元的取值范围

例7.求函数y?x?2?x的值域

(5)分离常数法:常用来求”分式型”函数的值域。

例8.求函数y?

x?1的值域 x?2

(6)判别式法:若可化为关于某变量的二次函数的分式函数或无理函数。

例9. 求函数y?

5的值域 22x?4x?3

例10.求y =

例11.已知y=f(x)满足yx2+2yx-(3y+1)=0求y的取值范围。 ???????????+???????+??的值域。

三,求函数解析式

1.

2.

3. 直接法:由已知条件设出变量,构造等量关系,列等式,解出y。 代入法:eg.已知f(x)=x2-1,求f(x+x2) 换元法:已知f[g(x)],求f(x)的解析式,令t=g(x),求出f(t)即得。换元后要确定t的取值范围。

eg.已知f(3x+1)=4x+3,-2≤x≤1,求f(x)。

4. 配凑法:已知的解析式中拼凑出含的形式,再把用x代替。注意定义域。

eg.已知f(3x+1)=4x+3,-2≤x≤1,求f(x)。

5. 待定系数法:明确函数类型,设其解析式,由已知确定系数。 求f(x)的表达式。

eg.已知f(x)为二次函数,且对称轴x=1,f(x)min=2,f(3)=8.

6. 方程组法:

eg.1.已知f(x)+2f()=x,(x≠0),求f(x) ??1 2.已知f(x)+2f(-x)=x,求f(x)

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