全国重点大学(清华北大复旦交大同济等)自主招生保送生试题整理(68页26套WORD版) 

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原点对称的不动点

(1) 求a,b须满足的充要条件;

(2) 试用y=f(x)和y=x的图形表示上述两个不动点的位置(画草图) 19.(本题14分)欲建面积为144m2的长方形围栏,它的一边靠墙(如图),现

有铁丝网50m,问筑成这样的围栏最少要用铁丝网多少米?并求此时围栏的长度.

x 144m2 y 220.(本题14分)设数列{an}满足关系an?1?2an?1(n?1,2,?),若N满足aN?1(N?2,3,?),

试证明:(1) |a1|?1;

(2) a1?cosk? (k为整数) N?2221.(本题16分)设f(x)?|lgx|,a,b为实数,且0?a?b,若a,b满足f(a)?f(b)?2f(试写出a与b的关系,并证明在这一关系中存在b满足3

a?b) 2 22.(本题16分)A和B两人掷骰子,掷出一点时,原掷骰子的人再继续掷,掷出不是一点时,由对方接

着掷,第一次由A开始掷,设第n次由A掷的概率是Pn.试求:(1) Pn+1用Pn表示的式子;(2) 极限limPn

n??

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2003年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题 2003.1.4

一、填空题(本大题共40分,每题4分)

1.三次多项式f(x)满足f(3)=2f(1),且有两个相等的实数根2,则第三个根为___________. 2.用长度为12的篱笆围成四边形,一边靠墙,则所围成面积S的最大值是_______________. 3.已知x,y?R?,x+2y=1,则

22?的最小值是______________. xy4.有4个数,前3个成等比数列,后3个成等差数列,首末两数和为32,中间两数和为24,则这四个数是___________________.

5.已知f(x)?ax7+bx5+x2+2x?1,f(2)??8,则f(?2)?_______________. 6.投三个骰子,出现三个点数的乘积为偶数的概率是_______________. 7.正四面体的各个面无限延伸,把空间分为________________个部分. 8.有n个元素的集合分为两部分,空集除外,可有___________种分法. 9.有一个整数的首位是7,当7换至末位时,得到的数是原数的三分之一,则原数的最小值是___________. 10.100!末尾连续有______________个零. 二、解答题(本大题共60分,每题10分)

11.数列{an}的a1?1,a2?3,3an+2?2an+1+an,求an和liman.

n??

12.3个自然数倒数和为1.求所有的解.

13.已知x1000+x999(x+1)+…+(x+1)1000,求x50的系数.

12k14.化简:(1) 1?1!?2?2!???n?n!; (2) Cn?1?Cn?2???Cn?k.

a3?2a15.求证:4为最简分式. 2a?3a?1

16.证明不等式()?n!?(),当自然数n≥6时成立.

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复旦大学2003年暨保送生考试数学试题

一、填空题(本大题共80分,每题8分)

1.函数y?12xf(t?x),当x=1时,y?t22?t?5,则f(x)=________________. 2.方程x2+(a?2)x+a+1?0的两根x1,x2在圆x2+y2?4上,则a?_______________.

3.划船时有8人,有3人只能划右边,1人只能划左边,共有________种分配方法. 4.A={x|log2(x2?4x?4)>0},B={x||x+1|+|x?3|≥6},则A?B=_______________. 5.数列{an}的前n项和为Sn,若ak=k·pk(1?p),(p≠1),则Sk=______________. 6.若(x?1)2+(y?1)2?1,则

y?1x?3的范围是___________________. 7.边长为4的正方形ABCD沿BD折成60o二面角,则BC中点与A的距离是_________. 8.已知|z1|?2,|z2|?3,|z1+z2|?4,则

z1z?______________. 29.解方程xlogaxx3?a2,x=________________. 10.(a>0),limann?an=______________.

n??2二、解答题(本大题共120分)

11.已知|z|=1,求|z2+z+4|的最小值.

12.a1,a12,a3,…,an是各不相同的自然数,a≥2,求证:(a)a?(1)a?(1)a???(1)a?2.1a2a3an

13.已知sin??cos??32,cos??sin??2,求tan??cot?的值.

14.一矩形的一边在x轴上,另两个顶点在函数y?x1?x2(x>0)的图象上, 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

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求此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值.

15.一圆锥的底面半径为12,高为16,球O1内切于圆锥,球O2内切于圆锥侧面,与球O1外切,?,以

次类推,

(1) 求所有这些球的半径rn的通项公式;

(2) 所有这些球的体积分别为V1,V2,…,Vn,….求lim(V1?V2???Vn).

n??

16.已知数列{an}的前n项和为Sn,an?

17.定义闭集合S,若a,b?S,则a?b?S,a?b?S.(1) 举一例,真包含于R的无限闭集合.(2) 求

证对任意两个闭集合S1,S2?R,存在c?R,但c?S1?S2.

1,求S2003.

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同济大学2003年暨保送生考试数学试题

一、填空题

1.f(x)是周期为2的函数,在区间[?1,1]上,f(x)?|x|,则f(2m?)?___(m为整数). 2.函数y?cos2x?2cosx,x∈[0,2?]的单调区间是__________________. 3.函数y?2x2?x2的值域是__________________.

4.

5.函数y=f(x),f(x+1)?f(x)称为f(x)在x处的一阶差分,记作△y,对于△y在x处的一阶差分,称为f(x)在x处的二阶差分△2y,则y=f(x)=3x·x在x处的二阶差分△2y?____________. 6.

7.从1~100这100个自然数中取2个数,它们的和小于等于50的概率是__________. 8.正四面体ABCD,如图建立直角坐标系,O为A在底面的投影,则z M点坐标是_________,CN与DM所成角是_________. 9.双曲线x2?y2=1上一点P与左右焦点所围成三角形的面积A ___________.

M N 22xy??1在第一象限上一点P(x0,y0),若过P的切线B 10.椭圆与坐

3243O C D x y 标轴所围成的三角形的面积是_________. 二、解答题

2x2?2kx?k?0对于任意x∈11.不等式log2R都成立,求k的取值范围.

3x2?6x?4bx?c11.(1) ,3为不动点,求a,b,c的关系;(2) 若f(1)?,求f(x)的解析式;(3) x?a22sin??cos?(??[0,2?)),(1) 求y的最小值;(2) 求取得最小值时的?. 13.已知y?2?sin??cos?12.不动点,f(x)?14.正三棱柱ABC-A1B1C1,|AA1|?h,|BB1|?a,点E从A1出发沿棱A1AA

后沿AD运动,∠A1D1E??,求过EB1C1的平面截三棱柱所得的截面与?的函数关系式. 15.已知数列{an}满足an?1?bn=an?an?1(n=2,3,…), (2) 求

C D B (1) 若

A1 D1

n运动,面积S

an?an?1. 2C1

B1

求bn;

?b;(3) 求limaii?1n??n.

16.抛物线y2=2px,(1) 过焦点的直线斜率为k,交抛物线与A,B,求|AB|.(2) 是否存在正方形ABCD,

使C在抛物线上,D在抛物线内,若存在,求这样的k,正方形ABCD有什么特点?

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