数学竞赛讲座

导读:数学竞赛讲座,在各种竞赛题中,许多竞赛题目正面计算十分困难,注:这个式子在竞赛中极为常用,由于是讲竞赛,数学竞赛讲座1抽屉原则抽屉原则的常见形式一,把n+k(k≥1)个物体以任意方式全部放入n个抽屉中,一定存在一个抽屉中至少有两个物体。二,把mn+k(k≥1)个物体以任意方式全部放入n个抽屉中,一定存在一个抽屉中至少有m+1个物体。三,把m1+m2+…+mn+k(k≥1)个物体以任意方式全部放

数学竞赛讲座

数学竞赛讲座

1抽屉原则

抽屉原则的常见形式

一,把n+k(k≥1)个物体以任意方式全部放入n个抽屉中,一定存在一个抽屉中至少有两个物体。

二,把mn+k(k≥1)个物体以任意方式全部放入n个抽屉中,一定存在一个抽屉中至少有m+1个物体。

三,把m1+m2+…+mn+k(k≥1)个物体以任意方式全部放入n个抽屉中,那么后在一个抽屉里至少放入了m1+1个物体,或在第二个抽屉里至少放入了m2+1个物体,??,或在第n个抽屉里至少放入了mn+1个物体 四,把m个物体以任意方式全部放入n个抽屉中,有两种情况:①当n|m时(n|m表示n整除m),一定存在一个抽屉中至少放入了

mm

个物体;②当n不能整除m时,一定存在一个抽屉中至少放入了[]+1个物体([x]表示不超过x的最大整数) nn

五,把无穷多个元素分成有限类,则至少有一类包含无穷多个元素。

注:背下来上面的几种形式没有必要,但应当清楚这些形式虽然不同,却都表示的一个意思。理解它们的含义最重要。在各种竞赛题中,往往抽屉原则考得不少,但一般不会很明显的让人看出来,构造抽屉才是抽屉原则中最难的东西。一般来说,题目中一旦出现了“总有”“至少有”“总存在”之类的词,就暗示着我们:要构造抽屉了。 2容斥原理

容斥原理常常使用,其实说简单点,就是从多的往下减,减过头了在加回来,又加多了再减,减多了再加??,最终得到正确结果。对于计数中容易出现重复的题目,我们常常采用容斥原理,去掉重复的情况。 容斥原理基本形式:

n

A1?A2? An=∑|Ai|-

i=1

1≤i<j≤∑A?A

i

j

+

1≤i<j<kn

∑A?A

i

j

?Ak- +(-1)

n+1

A1?A2? An

其中|A|表示集合A中元素的个数。 3递推方法

许多竞赛题目正面计算十分困难,于是我们避开正面计算,先考虑n-1时的情况,在计算n时的情况比n-1时的情况增添了多少,然后写出一个递推式,这样就可以利用数列的知识进行解决,但一般要求根据递推式求通项的能力要比较强,是和擅长数列的同学使用。没什么具体解释,多多练习吧 4映射计数

个人认为映射计数绝对是计数方法中最经典的一种,常常能将复杂至极的问题简单化,变成人人都会做的普通题目。但是想熟练掌握往往是不容易的,要求有大量的习题积累,才能形成建立映射的能力。 明确概念:对于y=f(x)

单射:不同的x对应不同的y,即|x|≤|y| 满射:每个y至少有一个x映射,即|x|≥|y| 双射:即是单射又是满射,即|x|=|y| 倍数映射:|x|=m|y| m∈N,m≠1

注:双射即通常说的一一映射,有的人将双射理解为m=2的倍数映射或其他映射,这是不对的。不要从感觉上去理解。双射应当是“单射”“满射”的综合。

+

利用映射解题,一般是建立双射,将要证明的问题转化为其他的问题,但是计算总数不变。而我们不仅要会建立双射,也应会建立单射和满射,因为显然建立单射和满射是证明不等关系的极好方法,不可以忽略。利用倍数映射解决的题目,我目前还没遇到多少,但还是要时刻记着有这样一种方法。 一,建立双射

集合{1,2,??,2004}有多少个元素和为奇数的子集?

将正整数n写成若干个1与若干个2之和,和项的顺序不同认为是不同的写法,所有写法的种数记为A(n);将正整数n写成若干个大于1的正整数之和,和项顺序不同认为是不同的写法,所有写法的种数记为B(n),求证:A(n)=B(n+2) 注:此题即为很好的映射计数例子。因为即便不用映射我们可以把A(n)求出来,再把B(n+2)求出来,然后比较后会发现两者相等,但这显然是超大工作量,如果使用了映射计数,我们只需用一些技巧,在A(n)和B(n+2)中建立双射,此题即得到证明。

二,建立单射或满射

注:映射计数可能会有一定难度,如果觉得掌握不了也不要灰心,只要多练,时间一长自然就会了。

不等式与最值

1平均不等式

Hn≤Gn≤An≤Gn

等号成立当且仅当a1=a2= =an 注意:运用平均不等式需注意各项均为正数! 题外话:有很多同学十分“痛恨”

∑∏

这两个符号,总是看不懂,其实这两个符号是绝对好用的,并且以后会常常遇

到,在大学课本中更是家常便饭,多看几次自然也就习惯了。

例a,b,c,d∈R,且a+b+c+d=1求证:4a+1+4b+1+4c+1+4d+1<6 ,分析:

为了凑出a+b+c+d,以便充分利用条件,将4a+1,4b+1,4c+1,4d+1视作整体,利用平均不等式。

2柯西不等式及其变形

+

?n??n2??n2?

设ai,bi∈R(i=1,2,…,n),则 ∑aibi?≤ ∑ai? ∑bi?

?i=1??i=1??i=1?

其中等号成立,当且仅当

2

ai

为定值 bi

注:这个式子在竞赛中极为常用,只需简记为“积和方小于方和积”。等号成立条件比较特殊,要牢记。此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数,因此应用范围较广。 常用变形一:

若ai∈R,bi∈R+(i=1,2,…,n),则

?n? ∑ai?2n

ai? 注:要求b为正数

≥?i=1i∑n

i=1bi

∑bi

i=1

2

常用变形二:

?n? ∑ai?n

a?i=1?

若ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),则 ∑i≥n

i=1bi

∑aibi

i=1

2

注:要求ai,bi均为正数。当然,这两个式子虽常用,但是记不记并不太重要,只要将柯西不等式原始的式子记得很熟,这两个式子其实是一眼就能看出来的,这就要求我们对柯西不等式要做到活学活用。 例:

若5a+6b-7c+4d=1,求3a+2b+5c+d的最小值。并指出等号成立的条件。

分析:

由于a,b,c,d各项系数不同,而且既有1次项,又有2次项,显然要用柯西不等式。而且使用柯西不等式不受-7c这项的影响。使用时,注意写明等号成立条件,检验最小值能否取到。

柯西不等式推广——赫尔德不等式 若ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),p>1,q>1且

1p

1q

2222

11

+=1则 pq

?p??q?ab≤ab ? ∑∑∑iiii?

i=1?i=1??i=1?

注:这个式子成立的前提挺多,不难看出当p=q=2时,这个式子即为柯西不等式。

3排序不等式 4琴生不等式

首先来了解凸函数的定义

一般的,设f(x)是定义在(a,b)内的函数如果对于定义域内的任意两数x1,x2都有

nnn

?x+x2?f(x1)+f(x2) f 1?≤

2?2?

则称f(x)是(a,b)内的下凸函数,一般说的凸函数,也就是下凸函数,例如y=x2,从图像上即可看出是下凸函数,也不难证明

其满足上述不等式。如果对于某一函数上述不等式的等号总是不能成立,则称此函数为严格凸函数。

注:凸函数的定义为我们提供了极为方便地证明一个函数为凸函数的方法。这个方法经常使用。此外利用二阶求导也可以判断一个函数为凸函数,凸函数的二阶导数是非负数。 凸函数具有的常用性质 性质一:

对于(a,b)内的凸函数f(x),有

?n

∑xif i=1 n ?

???≤???

∑f(x)

i

i=1

n

n

注:此即常说的琴生不等式

性质二:加权的琴生不等式 对于(a,b)内的凸函数,若

∑a

i=1

n

i

=1,则

?n?n

f ∑aixi?≤∑aif(xi) ?i=1?i=1

注:加权琴生不等式很重要,当ai=

1

时,即为原始的琴生不等式。 n

注:另外,对于上面有关凸函数和琴生不等式的部分,如果将不等号全部反向,则得到的便是凹函数,以及凹函数的琴生

不等式。 例

n

设xi>0(i=1,2,…,n),

∑x

i=1

i

=1,求证:∑

i=1

n

xi-xi

i=1

n

xi

n-1

注:不仅要用琴生不等式,注意知识综合利用。

5利用二次函数的性质

一般来说,许多题目是涉及x,y,z三个量的证明题,由于二次函数的性质十分好用,因此凑出一个关于其中一个字母的二次函数,进而利用二次函数的性质可以解决最值问题。 例

设x,y,z≥0,且x+y+z=1,求xy+yz+zx-3xyz的最大最小值。 提示:

4(3z-1)z-z2-1-4z+3z2

将x=1-y-z代入,整理成关于y的二次函数,最值即为

43z-1分别取到最大值

()()

2

,整理后不难得到z=0和z=1式

1

和最小值0,然后只需举一例证明能够取到即可。 4

x3y3z33

1. x,y,z>0,且 xyz=1. ++≥ (1)

(1+y)(1+z)(1+z)(1+x)(1+x)(1+y)4

222

. 2.设f=x+y+z-xyz, 其中x,y,z≥0,且x+y+z=1.求f的最大值与最小值

3.设a0,a1, ,an≥0且a0=1. ai≤ai+1+ai+2,i=0,1,2 ,n-2,其中n≥2.

求a0+a1+ +an的最小值。

4.对于给定的正整数n,求最小的正整数λ,使得:

如果 a1,a2, ,an∈[1,2],b1,b2, ,bn是a1,a2, ,an的一个排列。

n

ai3

就有 ∑≤λ∑ai2.

i=1bii=1

n

5.设a1=

2002k=1

11

,an=(1+an-1)2,n≥2. 求最小的实数λ使得?x1,x2, ,x2002≥0. 44

∑Ak≤λ?a2002,其中Ak=

xk-k

1??

x+x+ +x+k(k-1)+1? kk+12002

2??

2

6.设a1≥a2≥ ≥an≥0.且求证:

∑a

i=1

n

2

i

=1. 求证:∑

i=1

n

aii+-1

≥1.7.设xi>0,i=1,2, ,n.且

∑x

i=1

n

i

=1.设x0=0.

1≤∑

i=1

n

xi

+x1+x2+ +xi-1?xi+ +xn

f(x,y,z)=

xx+8yz

2

<

π

2

.y

z

8.求证:

?x,y,z>0.+

y+8xz

2

+

z+8xy

2

≥1.9.求证:

?x,y,z>0,f(x,y,z)=

xx+8yz

2

+

yy+8xz

2

+

1

zz+8xy

+

1

2

<2.

1+2c

对原命题加强,证明:?a,b,c>0,且abc=1.

+2a+2b

+

<2.10.设x,y,z>0,x2+y2+z2=1.求

f=

xyz

的最大、最小值。11.设x,y∈R. (x2+1)(y2+1)=2.求x+y的最小值12.求最小的正数k,++

1+yz1+xz1+xy

使得?x,y,z>0,有

xx+y

+

yy+z

+

zz+x

<kx+y+z.

2

?n??n??n?2

13.设xi,yi,zi>0, xiyi-zi>0. i=1,2,3, ,n.且 ∑xi?? ∑yi?- ∑zi?=1.

?i=1??i=1??i=1?

1

的最小值。 ∑2

xy-zi=1iii

n

14.设0<a<b,令f=(x1+x2+ +xn)

2

2

2

?111?

,xi∈[a, b],i=1,2,3, ,n. 求f的最大值和最小值。 ++ +??xn??x1x2

15.若x,y,z∈R, 且x+y+z=2.则x+y+z-xyz≤2.

三角函数

一、常用公式

由于是讲竞赛,这里就不再重复过于基础的东西,例如六种三角函数之间的转换,两角和与差的三角函数,二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多,有些还是不能不写。先从最基础的开始(这些必须熟练掌握): 半角公式

sin

α

2

-cosαα+coαs

co=± 222

tan

α

2

-cosα1-cosαsinα

==

1+cosαsinα1+cosα

积化和差

sinαcosβ=

11

(α+β)-sin(α-β)] [sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ=[sin

2211

(α+β)-cos(α-β)] cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαsinβ=-[cos

22

和差化积

sinα+sinβ=2sin

α+β

2222

α+βα-βα+βα-β

cosα+cosβ=2coscosα-cosβ=-2sisi cos

2222

cos

α-β

α-sinβ=2co sin

α+β

siα-β

万能公式

2

2tanα2tanα1-tanα

sin2α=tan2α=cos2α= 222

1+tanα1-tanα1+tanα

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