第5讲 λ-矩阵与标准形

导读:第5讲λ-矩阵与标准形,内容:1.矩阵的Jordan标准形,2.矩阵的最小多项式,3.λ-矩阵与Smith标准型,4.多项式矩阵的互质性与既约性,5.有理式矩阵的标准形及仿分式分解,λ-矩阵又称多项式矩阵是矩阵理论中的重要内容,在线性控制系统理论中有着重要的应用.本讲讨论λ-矩阵和数字矩阵的相似标准形、矩阵,1.1矩阵相似,定义1.1设A和B是矩阵,C和D是非奇异矩阵,并称P为把A变成B的相似

第5讲 λ-矩阵与标准形

第5讲 λ-矩阵与标准形

内容:1. 矩阵的Jordan标准形

2. 矩阵的最小多项式

3. λ-矩阵与Smith标准型

4. 多项式矩阵的互质性与既约性

5. 有理式矩阵的标准形及仿分式分解

λ-矩阵又称多项式矩阵是矩阵理论中的重要内容,在线性控制系统理论中有着重要的应用. 本讲讨论λ-矩阵和数字矩阵的相似标准形、矩阵的Jordan标准形、矩阵的最小多项式、多项式矩阵与有理分式矩阵的标准形. §1 矩阵的Jordan标准形

1.1 矩阵相似

定义1.1 设A和B是矩阵,C和D是非奇异矩阵,若B=DAC,则称A和B相抵;若B=CTAC,则称A和B相合(或合同);若B=C-1AC,则称A和B相似,即若A,B∈Cn?n,存在P∈Cnn?n,使得P-1AP=B,则称A与B相似,并称P为把A变成B的相似变换矩阵.特别,当PH=P-1,称A与B酉相似,当PT

正交相似.

相似是矩阵之间的一种重要的关系. 相似矩阵具有以下性质: =P-1,称A与B

定理1.1 设A,C,B∈Cn?n, f(λ)是一个多项式,则

(1) 反身性:A与A相似;

(2) 对称性:若A与B相似,则B与A也相似;

(3) 传递性:若A相似于B,B相似于C,则A与C相似;

(4) 若A与B相似,则detA=detB,rankA=rankB;

(5) 若A与B相似,则f(A)与f(B)相似;

(6) 若A与B相似,则det(λI-A)=det(λI-B),即A与B有相同的特征多项式,从而特征值相同.

对角矩阵是较简单的矩阵之一,无论计算它的乘积、幂、逆矩阵和特征值等都比较方便.问题:方阵A能否相似于一个对角矩阵?

定义1.2 设A∈Cn?n,若A相似于一个对角矩阵,则称A可对角化.

定理1.2 设A∈Cn?n,则A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.

证明 充分性.设P-1AP=Λ=diag(λ1,λ2, ,λn),其中

P=(p1,p2, ,pn),则由AP=PΛ得Api=λipi, (i=1,2, ,n),可见λi是A的特征值,P的列向量pi是对应特征值λi的特征向量,

再由P可逆知p1,p2, ,pn线性无关.

必要性. 如果A有n个线性无关的特征向量p1,p2, ,pn,即有Api=λipi,(i=1,2, ,n),记P=(p1,p2, ,pn),则P可逆,且有

AP=(Ap1,Ap2, ,Apn)=(λ1p1,λ2p2, ,λnpn)

=(p1,p2, ,pn)diag(λ1,λ2, ,λn)=Pdiag(λ1,λ2, ,λn), 即有P-1AP=diag(λ1,λ2, ,λn),故A可对角化.

推论1.1 若n阶方阵A有n个不同的特征值,则A可对角化.

推论1.2 设λ1,λ2, ,λs是n阶方阵A的所有互不相同的特征值,其重数分别为r1,r2, ,rs.若对应ri重特征值λi有ri个线性无关的特征向量(i=1,2, ,s),则A可对角化.

例1.1 研究下列矩阵能否与对角形矩阵相似:

10?10??0?122??3?,?-4-10? ?2112?,001A=A=1)A=? 2)3)??????????-6-11-6???4-8-2???221??

1)因A的特征多项式为λI-A=(λ+1)(λ+2)(λ+3),因而A有三个不同的特征值:λ1=-1,λ2=-2,λ3=-3.由于A的3个特征值互不相同,故A能对角化. 又求得相应的三个特征向量为:x1=(1,-1,1)T,x2=(1,-2,4)T,x3=(1,-3,9)T,它们是线性无关的.取

11??1?-1??,则P-1AP=??. P=?-1-2-3-2??????49?-3??1???

2)特征多项式为λI-=(λ+1)2(λ-5).故特征值为

,λ3=5.特征值为-1的两个线性无关的特λ1=λ2=-1(二重根)

征向量为x1=(1,0,-1)T,x2=(0,1,-1)T,而特征值λ3=5对应的一个特

01??1?-1??,则P-1AP=??. 011-1征向量为:x3=(1,1,1)T,取P=???????5??-1-11????

3)A的特征多项式为,λI-A=(λ-1)2(λ+2),特征值为λ1=λ2=1,λ3=-2.而对应于特征值1的一切特征向量为x=k(3,-6,20)T,k≠0.又对应于特征值-2的一切特征向量为,y=k1(0,0,1)T,k1≠0. 不存在三个线性无关的特征向量,所以A不能与对角形矩阵相似.

例60??4?,求A的相似对角矩阵及A100. -3-501.2 设A=?????-3-61??

解 由λI-A=(λ-1)2(λ+2),得λ1=-2,λ2=1(二重根).则对应于λ1=-2的一个特征向量x1=(-1,1,1)T及对应于二重根λ2=1的两个线性无关特征向量为x2=(-2,1,0)T,x3=(0,0,1)T.取

?-1-20??-120??,则P-1=?-1-10?,故 P=?110??????01??1??-1-21??

?-2?? P-1AP=?1(1.1) ???1???

?-10-2??-2?

-1??,?,101PAP=1注意,若取P1=?则11??可见P不????1????110??

是唯一的.

?-2??P-1,因此易知 1现在计算A100.由式(1.1)有A=P????1???

A100?-2??=P?1???1???100100?-1-20??(-2)??P-1=?110????01??1?????120??? 1??-1-10??1??-1-21????

?-2100+2-2101+20???=?2100-12101-10?.

101?2100-12-21???

1.2 特征矩阵

设A=(aij)∈Cn?n,称A(λ)=λI-A为A的特征矩阵.

定义1.3 称A(λ)中所有非零的k级子式的首项(最高次项)系数为1的最大公因式Dk(λ)为A(λ)的一个k级行列式因子,k=1,2, ,n.λ0=1.

由定义1.3可知:Dn(λ)=λE-A.又因Dk-1(λ)能整除每个k-1级子式,从而可整除每个k级子式(将k级子式按一行或一列展开即知),因此Dk-1(λ)能整除Dk(λ),并记为Dk-1(λ)Dk(λ),k=1,2, ,n.

定义1.4 称下列n个多项式

d1(λ)=D1(λ),d2(λ)=D2(λ)D(λ)D(λ), , ,dk(λ)=k, ,dn(λ)=n

D1(λ)Dk-1(λ)Dn-1(λ)

为A(λ)的不变因式. 把每个次数大于零的不变因式分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积,所有这些一次因式的方幂(相同的必须按出现次数计算),称为A(λ)的初级因子.

因A(λ)=λE-A完全由A决定, A(λ)的不变因式及初级因子也常称为矩阵A的不变因式及初级因子.

?-1???-2?的不变因式及初级因子. 例1.3 求矩阵A=??1???2??

解 因A的特征矩阵为

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