2004年上海市进才中学高三数学测试题

导读:2004年上海市进才中学高三数学测试题,(iii)用数学归纳法证明:,2004年上海市进才中学高三数学测试题一、填空题(48分)1.已知复数z?1?i,则|z4|?_______。2.已知偶函数f(x)的图象与x轴有五个公共点,那么方程f(x)?0的所有实根之和为_______。3.在?ABC中,2sinA?3cosA,则?A?_______。4.李老师家藏有一套精装的四卷的天龙八部(金庸著)

2004年上海市进才中学高三数学测试题

2004年上海市进才中学高三数学测试题

一、填空题(48分)

1.已知复数z?1?i,则|z4|?_______。

2.已知偶函数f(x)的图象与x轴有五个公共点,那么方程f(x)?0的所有实根之和为

_______。

3.在?ABC中,2sinA?3cosA,则?A?_______。

4.李老师家藏有一套精装的四卷的天龙八部(金庸著),任意排放在书架的同一层上,则卷序自

左向右或自右向左恰为1,2,3,4的概率是__________。

5},y?{2,4,6,8},则满足条件的不共线的向量共有 5. 已知向量?{x,y},其中x?{1,2,4,

_________个。

x2?26. 已知不等式a?对x取一切负数恒成立,则a的取值范围是 ______________。 |x|

7. 一张报纸,其厚度为a,面积为b,现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)7次,这时报

纸的厚度和面积分别为_________________。

8. 已知矩形ABCD的边AB?a,BC?2,PA?平面ABCD,PA?2,现有以下五个数据:

1(1)a?;(2)a?1;(3)a?3;(4)a?2;(5)a?4,当在BC边上存在点Q,使PQ?QD时,则a可2

以取_____________。(填上一个正确的数据序号即可)

9. 不等式ax?1 的解集为?x|x?1或x?2?,那么a的值等于___________。 x?1

10.某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,当住在第n层楼时,上下楼造成的

不满意度为n,但高处空气清新,噪音较小,因此随楼层升高,环境不满意程度降低,设住在第n层楼时,环境不满意程度为8,则此人应选________楼。 n

11.在正方体ABCD?A1B1C1D1中选出两条棱和两条面对角线,使这四条线段所在的直线两两都

是异面直线,如果你选定一条面对角线AB1,那么另外三条线段可以是________________。

(只需写出一种情况)

12.数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5? 的第100项是_____________。

二、选择题(16分)

13.过点C(1,2)作直线,使其在坐标轴上的截距相等,则满足条件的直线的斜率为( )

(A)?1 (B)?1 (C)?1或2 (D)?1或2

14.已知平面?与平面?相交,直线m??,则 ( )

(A)?内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直

(B)?内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直

(C)?内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直

(D)?内必存在直线与m平行,却不一定存在直线与m垂直

15.已知集合M?{x|x?3m?1,m?Z},N?{y|y?3n?2,n?Z},若x0?M,y0?N, 则

x0y0与集合M,N的关系是 ( )

(A)x0y0?M但?N(B)x0y0?N但?M(C)x0y0?M且?N(D)x0y0?M且?N

16.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走

完,则上楼梯的方法有 ( )

(A)45种 (B)36种 (C)28种 (D)25种

三、解答题(36分)

17.(8分)已知数列{an}中,an?0(n?N),其前n项和为Sn,且S1?2,当n?2时,Sn?2an。

(1)求数列{an}的通项公式。 (2)若bn?log2an,求数列{bn}的前n项和Tn。

18.(8分)在?ABC中,sinAcos2

19.(10分)有一组数据:x1,x2,?,xn(x1?x2???xn)的算术平均值为10,若去掉其中最大的

一个,余下数据的算术平均值为9;若去掉其中最小的一个,余下数据的算术平均值为11。 (1) 求出第一个数x1关于n的表达式及第n个数xn关于n的表达式。

(2) 若x1,x2,?,xn都是正整数,试求第n个数xn的最大值,并举出满足题目要求且xn取到最大值的一组数据。 CA3?sinCcos2?sinB, 求角B的范围。 222

20.(10分)已知函数f(n),(n?N),满足条件: ①f(2)?2;②f(xy)?f(x)?f(y); ③f(n)?N; ④当x?y时,有f(x)?f(y)。 (1)求f(1),f(3)的值。

(2)由f(1)f(2),f(3)的值,猜想f(n)的解析式。 (3)证明你猜想的f(n)的解析式的正确性。

参考答案

一、填空题

1?1b 4. 5.12 6.(??,22] 7. 128a, 8.①或② 9.a? 10.3 2312812

11.BC1,CD,A1D1(或CC1,A1D1,DB,或BC,C1D1,A1D,或DD1,BC,A1C1) 12.14 1.4 2.0 3.

二、选择题

13.C 14.C 15.B 16.C

三、解答题

17.(1)当n=1时,a1?S1?2;当n=2时,有a1?a2?2a2,得a2?2;当n?3时,有:

an?Sn?Sn?1?2an?2an?1,得an?2an?1.故该数列从第2项起为公比q=2的等比数列,

(n?1)?1?故数列{bn}的前n项和 Tn??n(n?1) ?1(n?2,n?N)?2?

1?cosC1?cosA3?sinC?18. 解:由sinA?=sinB得:sinA?sinAcosC?sinC?sinCcosA?3sinB,即 222

sinA?sin(A?C)?sinC?3sinB,∴sinA?sinC?2sinB,即2b?a?c。由余弦定理,得: (n?1)??2故an??n?1?(n?2,n?N).?2?1(2)由(1)知 bn???n?1(n?1) (n?2,n?N).

a?c2)3(a2?c2)?2ac6ac?2ac1a?c?b coBs?? ???,∵0?B?? 且函数y?cosx在[0,?]]上是减函数 2ac2ac8ac8ac2

??∴0?B?,即B的范围是(0,]。 33222a2?c2?(

(1)?x1?x2???xn?10n?19.解: (1) 依条件得:?x1?x2???xn?1?9(n?1)(2)

?x?x???x?11(n?1)(3)n?23由(1)?(2)得:xn?n?9,又由(1)?(3)得:x1?11?n(2)由于x1是

正整数,故 x1?11?n?1,?1?n?10,故xn?n?9?19当n=10时, x1?1,x10?19,x2?x3???x9?80, 此时,x2?6,x3?7,x4?8,x5?9,x6?11,x7?12,x8?13,x9?14。

20.解:(i):∵f(2)?f(2?1)?f(2)?f(1),又f(2)?2,∴f(1)?1。又∵f(4)?f(2?2)?f(2)?f(2)?4,

2?f(2)?f(3)?f(4)?4,且f(3)?N。∴f(3)?3。

(ii)由f(1)?1,f(2)?2,f(3)?3猜想f(n)?n(n?N)。

(iii)用数学归纳法证明:

(1)当n=1时,f(1)?1,函数解析式成立;

(2)假设n?k时,f(k)?k,函数解析式成立;

①若k?1?2m(m?N),f(k?1)?f(2m)?f(2)?f(m)?2m?k?1。

②若k?1?2m?1(m?N),f(2m?2)?f[2(m?1)]?f(2)?f(m?1)?2(m?1)?2m?2,

2m?f(2m)?f(2m?1)?f(2m?2)?2m?2。∴f(2m?1)?2m?1?k?1。

即n?k?1时,函数解析式成立。

综合(1)(2)可知,f(n)?n(n?N)成立。

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