新课程高中数学课堂教学中的案例(一)

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新课程高中数学课堂教学中的案例(一)

新课程高中数学课堂教学中的案例(一)

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----—再谈基本不等式???的创新表示法

石河子第一中学 朱友忠

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案例:基本不等式a?b?a?b??2ab的创新表示法

《北师版·必修5》【不等式习题课】§3·4 P95 B组第1题略有改动 题目:在⊙O上半圆中已知AC=a,CB=b,(a≥b),CD⊥AB,EO⊥AB,连接OD,作CF⊥OD如图所示:请用a,b分别表示线段CE,OE,CD,DF的长度,指出它们之间的大小关系,并证明;

一、归纳课本中的表示法 解:∵AC=a,CB=b, ∴OC=,CG=OE=

22

在Rt△EOC中,有CE2=OC2+OE2=()2+()2=

OE=OD=(同圆的半径相等),CD=

2

2()22在Rt△ODC中,有CD=DF·OD; ∴DF=== 22

整理:CE=,OE=, CD=, DF=

通过图中的Rr△的斜边与直角边的关系,显然可以得出:CE≥OE≥CD≥DF成立;

22

即:???, 当且仅当a=b时,取“=”成立。主要是建立集合图形证明。

22???”的证明。 《北师版·选修2-2》(P12习题1-2中第1题中)再次出现“

二、创新课本中的表示法

上课时提问:“”在全面所学的知识中与那个式子类同?

学生甲说:在学习等差数列中,与等差中项的公式类同; 学生乙说:在学习求A、B两点的中点坐标公式类同;

学生丙说:在学习函数知识时,当某个函数的图象满足f(x+a)=f(b-x)时,则函数图象的对称轴x0=的表达式类

同;

学生丁说:在初中学习平面几何时,与梯形的中位线式子类同。

通过几分钟的提问与启发,老师与学生,学生与学生之间进行了互动和回忆;同学们竟然能回想起这么多的类同,说明“”这个式子在数学知识里也是非常重要的一个表达式;而且在大学的数学课本中还有与上述类同式

子的应用。

22

同学们,今天我们就学生丁同学所说,利用梯形中四条线段的长度来表示:“” ,“”“”,“”

2

a 是成立的;则它们分别代表哪四条线段呢?

设梯形的下底AB= b,上底CD= a,如图(1),于是就有: F

a (1).梯形的“中位线”EF=,显然成立; H B 证明很简单略 在初中的平面几何中已经证明。 图(1) (2).在梯形中,作GH∥AB与两腰相交于G、H;如图(2), 使得梯形 B ABHG与梯形GHCD相似,则?,即GH=显然成立;称GH为“相似线”

图(2)

(3).在梯形中,过梯形两对角线的交点O作PQ∥AB与两腰相交于 P、Q;如图(3),设PO=x,OQ=y,DO=m,OB=n,于是有△DPO∽△DAB,

则?,即?,∴x= ①

AB

DB

b

m?n

m?n

Q B

△BOQ∽△BDC,有

OQy

?,即?,∴y= ②

由①,②可得,PQ=x+y=+= 即PQ= ③

在梯形中,△ODC∽△OBA,有?,即? ④

图(3)

A

N

b B

图(4)

将④代入③中消去得: PQ=,称PQ为“调和线”

n

a?b

(4). 在梯形中,作MN∥AB与两腰相交于M、N;如图(4), 使得梯形 ABNM与梯形MNCD的面积相等,设MN=x, 则有

(a?x)h1(x?b)h2

, ?

h1 ⑤,在梯形中,△CKN∽△NSB,有h1?,即h1? ⑥ P?

h2a?xh2SBh2b?x22

h1由⑤,⑥可得?=

,即MN=x=; 称MN为“面积线”

Q

H

F N

2归纳上述梯形的四条线段如图(5)可知,显然有:MN≥EF≥GH≥PQ

22

即:??? 当且仅当a=b时,取“=”成立。

图(5)

B

此时的梯形就成为一个平行四边形。 三、构建函数单调性表示法

例如:函数f(x)=x?1,可以证明该函在实数R上是增加的; xx

x?1

22

于是就有:f(1)= ,f(0)= ,f(-)=ab,f(-1)=

22

f(1)≥f(0)≥f(-)≥f(-1) 即,≥≥≥ 当且仅当a=b时,取“=”成立。

2a?b2a?b

22???的证明方法有很多,譬如:代数证法(比较法,综合法,分析法)众其实,不等式

所周知,就不必说明了;《北师版·必修5》课本上的几何证法还有好多,阅读资料中,谈到2002年在北京召开的

2222

24届国际数学家大会的会标,会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的,会标图案中就蕴含着≥≥≥≥的存在,值得参考与借鉴。实在是太完美了,真是令人叫绝;在此我断定此不等式的表示方法

2

a?b

仅次于勾股定理的证明方法;这个基本不等式也可以说是一只生金蛋鸡,如何构造几何图形、如何构造函数,都有待于同仁们继续研究,发现其它的一些表示方法,挑战这样的工作可以启发人的思维能力,有着非常重要的意义。

新课程高中数学课堂教学中的案例(二)

----------对诱导公式中“α-π”的理解与应用

石河子第一中学 朱友忠

案例:“α-π”的理解

《北师版·必修4》P16 §4·3【三角函数《诱导公式》的新授课】诱导公式这节内容中出现了角“α-π”的诱导公式,那么怎样理解这个角“α-π”呢?

刚开始我接触角“α-π”总有些别扭,是因为在旧教材中用习惯了形如角“??”k∈Z的三角函数诱导公

式,在前面的旧教材中出现过,也没有直接把它纳入公式的范筹中;在新教材中解题时,常碰到形如:

sin(α-π)=sin[-(π-α)]=-sin(π-α)=-sinα; cos(α-π)=cos[-(π-α)]=cos(π-α)=-cosα; tan(α-π)=tan[-(π-α)]=-tan(π-α)=tanα;

等等都象上述那样至少要通过两次诱导公式进行转化而得到;我就在想,既然《北师版·必修4》教材中直接把它纳入到公式的范畴中,说明它是可以直接到位的。 在备课时,借助单位圆,如图所示我就仔细研究起来,在单位圆

中分别作出角α、角α+π、角α-π通过观察它们之间的关系,发现 角α+π与角α-π的终边相同,即(α+π)-(α-π)=2π;这就说明 这两个角的三角函数值是相等的。即诱导公式如下:

sin(α±π)=-sinα; cos(α±π)=-cosα; tan(α±π)=tanα 把角α看作“锐角”,则角α+π与角α-π的终边都落在第三象限;还可以理解:角α-π加上2π也就得到角α+π(或加上2kπ,k∈Z)的结果了。真是大快人心的事情。

“α-π”的应用

角α-π加上2π(或加上2kπ,k∈Z)的应用(对正弦、余弦等三角函数的化简或求值比较快) 如《北师版·必修4》P17·例2 求下列各角的三角函数值中的两道题是: 第(1)题:sin(-)=sin(-+2π)=sin= (而课本上的解答用了4步);

2

第(3)题:cos(-)=cos(-+6π)=cos=-?(而课本上的解答用了4步);

P19·例3 第(2)题:sin(-)加上10π即可化简;(而课本上的解答用了5步);

6

练习:判断下列各式函数值的符号, P20·A组中的第2题备选的题如:

①sin(-)加上4π即可化简;②cos(-)加上6π即可化简;③cos(-)加上4π即可化简;

P20·练习2中的第(3)题:已知sin(π+α)=, 求sin(-3π+α)的值;

只要在所求的式子的角度中加上4π即可求得结果。

P20·练习2中的第(4)题:化简①1+sin(α-2π)sin(α+π)-2cos2(+α);

在sin(α-2π) 的角度中加上2π即可化简。 P20·A组题中的第8题化简(2)小题:

sin(???)sin(3???)?sin(????)sin(??2?)sin(???)sin(3????2?)?sin(?????2?)sin(??2??2?)

=

=

sin(???)sin(???)?sin(???)sin(?)

角α-π加上π(或加上kπ,k∈Z)的应用(对正切、余切等三角函数的化简或求值比较快) P39练习中第4题不求值比较两个正切函数值的大小:

00

(1)tan138与tan143

解:前、后两个式子分别减去1800都可以起到简化的作用; (2)tan(-)与tan(-)

解:前面的式子加上4π、后面的式子加上3π就可以起到简化的作用;

P40 A组第10题求值:?tan2(?)?2tan(?)只要在前面的式子加上6π、后面的式子加上7π就可以起

到简化的作用;

练习:求下列各式函数值P40 A组备选题

①tan2400 减去1800 ②tan(-15740) 加上9·180

00

③tan6750+tan7650+tan(-690)+tan1080

小结:通过上述的实例对教材的研究和书本上的练习题的证实,很快化到最简,的确起到事半功倍之效;也就是说,对于绝对值较大角的正、余弦函数值一般加上2kπ(k∈Z);对于绝对值较大角的正、余切函数值一般加上kπ(k∈Z);上述事实只是我个人的看法,如果同仁们还有更好的见解也能展示出来与大家共同分享,是一件非常好得事,我也感到非常欣慰;新教材的研究需要大家共同探究、共同切磋,才能真正落实三维目标在授课中得到体现。

新课程高中数学课堂教学中的案例(三)

----------对一道例题的分析理解与拓展

石河子第一中学 朱友忠

案例:一道例题的分析理解与拓展

《北师版·必修4》P117 §3·2 【二倍角的三角函数新授课】 教材中的例4 题目:要把半径为R的半圆形的木料截成长方形如图(1)所示,应怎样截取, 才能使长方形面积最大?

分析:要求最值←必需建立函数←必需先确定自变量; 问题:面积的变化是由哪个长度发生变化而变化的呢?

方案一、因为A点在运动,说明OA的长度也在发生变化,此时

可设OA=x,连接OB=R,则AB=22,所以面积S=2x22(0<x<R)

解得:S=2xR2?x2=22(R2?x2)=2?(x2?2?(也可以用均值定理解决)

2

当x2=,即x=时,所以面积Smax=R2;

2

2

方案二、因为B点在运动,说明∠BOA的大小在发生变化而变化. ,此时可设∠BOA=α,OB=R, 则AB=Rsinα,OA=Rcosα,所以面积S=2OA·AB=2 Rcosα·Rsinα=R2sin2α;

当sin2α=1,即α=450时,所以面积Smax=R2; 小结反思:

1、代数法:以线段长为自变量,建立函数关系式,用代数方法求函数最值。 2、三角法:选择角度为自变量,建立函数关系式,用三角知识求函数最值;(适用于与旋转有关的问题)。 拓展一、《北师版·必修4》P127 B组第5题、题目:把一段半径为R

矩形的木料,试问怎样锯法才能使截面的面积最大?

分析一、代数法:设AB=x,x∈(0,2R),则

BC=;

分析二、三角法:设∠CAB=α,α∈(0,90),

则AB=2Rcosα,BC=2Rsinα

分析三、几何法:作DE⊥AC,则S=AC·DE=2R·DE;

2

要使DE

最大,即AB=BC时,面积Smax=2R 图(2)

拓展二、一段半径为R,圆心角为900的扇形木料如图(3)所示,锯成横截面为矩形的木料,试问怎样据法才能使截面的面积最大?

若按如图(4)的锯法:

方法1、代数法:略

方法2、三角法:略 2

2

方法3、几何法:利用对称性还原成圆木料。求得Smax=R2

图(3)

图(4)

图(5)

若按如图(5)的锯法:设∠AOB=α,α∈(0,45)

000

采用三角法解:设∠AOB=α,α∈(0,45),则BE=Rsin(45-α),OE= Rcos(45-α),由图(5)可知,

00

OF=BE=AF,所以AB=FE=OE-OF=R[cos(45-α)-sin(45-α)]

2000

面积S=2BE·AB=2Rsin(45-α)[cos(45-α)-sin(45-α)]

00

=R2[sin(90-2α)-1+cos(90-2α)]

=R2[sin(2α+45)-1]

当α=时,面积Smax=(-1)R2

比较如图(4)的锯法与如图(5)的锯法,显然R2>(-1)R2

2

所以要采用如图(4)的锯法面积最大。

拓展三、一段半径为R,圆心角为1200的扇形木料如图(6)所示,锯成横截面为矩形的木料,试问怎样锯法才能

使截面的面积最大?

若按如图(7)的据法:

方法1、代数法:略

方法2、三角法:略 图(6) 2图(7)

方法3、几何法:利用几何特性还原成圆木料。求得Smax=R

2

图(8)

若按如图(8)的锯法:设∠AOB=α,α∈(0,60)

000

采用三角法解:设∠AOB=α,α∈(0,60),则BE=Rsin(60-α),OE= Rcos(60-α),由图(8)可知,

OF=FA=BE=Rsin(60-α),

00

所以AB=FE=OE-OF=R[cos(60-α)-sin(60-α)]

3

00

=2R[cos(60-α)- sin(60-α)]

2

=Rsinα

20

面积S=2BE·AB=4Rsin(60-α)sinα]= 2R2[cosαsinα-sin2α]

=2R2[sin2α-]=2R2[sin(2α+300)-]

当2α+300=900时,即α=300,面积Smax=R2

3

比较如图(7)的锯法与如图(8)的锯法,显然R2>R2

所以要采用如图(8)的据法面积最大。

由上述推理计算过程,让我大胆猜测对半径R的扇形图,当扇形角在(00~1800]的范围内,两种截得的矩形面积下列图表成立:

拓展四、将如图(3)的木料锯成如图(9)的形状,怎样锯才能使 四边形OABC的面积最大? 00

解:设∠AOB=α,α∈(0,90),则BD=Rsinα,BE=Rcosα, 所以SOABC=S△OAB+S△OCB=R·Rsinα+R·Rcosα

22

22

=R(sinα+cosα)=Rsin(α+450)

2

2

当α+450=900,即α=450时,SOABC有最大值为R

图(9)

通过教材中的一道例题的理解与拓展,对三角知识加深了理解和应用,正是新课标的要求,使学生掌握基本知识与技能,体会学习的过程,同时领会数学思想方法,不仅增强了学生对数学学习的兴趣,而且树立了学生对数学学习有了良好的情感态度和价值观。

新课程高中数学课堂教学中的案例(四)

——-几种特殊的抽象函数在某点处的导数探究

石河子第一中学 朱友忠

案例:几种特殊的抽象函数在某点处的导数的求法

由于新课程标准对《导数》这一章内容概念的理解加大了力度,在一些课外参考书中也很少提到抽象函数在某点处的导数的求法;本文主要通过导数的定义研究抽象函数在某点处的导数的求法;进一步帮助同学们加深理解导数定义。下面以4种常见类型的抽象函数为例:

一、形如f(x+y)=f(x)+f(y)类型

例1、已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数,满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f′(0)=2,求当x=a时,f′(a)的导数.

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