新课程高中数学课堂教学中的案例(一)

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新课程高中数学课堂教学中的案例(一)

新课程高中数学课堂教学中的案例(一)

22----—再谈基本不等式a?b?a?b?ab?2ab的创新表示法

22石河子第一中学 朱友忠

a?ba?b22案例:基本不等式a?b?a?b?ab?2ab的创新表示法

22《北师版·必修5》【不等式习题课】§3·4 P95 B组第1题略有改动 题目:在⊙O上半圆中已知AC=a,CB=b,(a≥b),CD⊥AB,EO⊥AB,连接OD,作CF⊥OD如图所示:请用a,b分别表示线段CE,OE,CD,DF的长度,指出它们之间的大小关系,并证明;

一、归纳课本中的表示法 解:∵AC=a,CB=b, ∴OC=a?b,CG=OE=a?b

2222在Rt△EOC中,有CE2=OC2+OE2=(a?b)2+(a?b)2=a?b

222A OE=OD=a?b(同圆的半径相等),CD=ab

22(ab)22ab2CD在Rt△ODC中,有CD=DF·OD; ∴DF=== ODa?ba?b222整理:CE=a?b,OE=a?b, CD=ab, DF=2ab

2a?b2E D F O C B 通过图中的Rr△的斜边与直角边的关系,显然可以得出:CE≥OE≥CD≥DF成立;

22即:a?b?a?b?ab?2ab, 当且仅当a=b时,取“=”成立。主要是建立集合图形证明。

22a?b22a?b?a?b?ab?2ab”的证明。 《北师版·选修2-2》(P12习题1-2中第1题中)再次出现“

22a?b二、创新课本中的表示法

上课时提问:“a?b”在全面所学的知识中与那个式子类同?

2学生甲说:在学习等差数列中,与等差中项的公式类同; 学生乙说:在学习求A、B两点的中点坐标公式类同;

学生丙说:在学习函数知识时,当某个函数的图象满足f(x+a)=f(b-x)时,则函数图象的对称轴x0=a?b的表达式类

2同;

学生丁说:在初中学习平面几何时,与梯形的中位线式子类同。

通过几分钟的提问与启发,老师与学生,学生与学生之间进行了互动和回忆;同学们竟然能回想起这么多的类同,说明“a?b”这个式子在数学知识里也是非常重要的一个表达式;而且在大学的数学课本中还有与上述类同式

2子的应用。

22同学们,今天我们就学生丁同学所说,利用梯形中四条线段的长度来表示:“a?b” ,“a?b”“ab”,“2ab”

2a?b2D a C 是成立的;则它们分别代表哪四条线段呢?

设梯形的下底AB= b,上底CD= a,如图(1),于是就有: E F

D a C a?b(1).梯形的“中位线”EF=,显然成立; 2H A B G b 证明很简单略 在初中的平面几何中已经证明。 图(1) (2).在梯形中,作GH∥AB与两腰相交于G、H;如图(2), 使得梯形 A B b ABHG与梯形GHCD相似,则DC?GH,即GH=ab显然成立;称GH为“相似线”

GHAB图(2)

(3).在梯形中,过梯形两对角线的交点O作PQ∥AB与两腰相交于 P、Q;如图(3),设PO=x,OQ=y,DO=m,OB=n,于是有△DPO∽△DAB,

则PO?DO,即x?m,∴x=mb ①

ABDBbm?nm?nD P A a C O Q B

△BOQ∽△BDC,有

OQBOy?,即?n,∴y=na ②

m?nDCBDam?n由①,②可得,PQ=x+y=mb+na=mb?na 即PQ=mb?na ③

m?nm?nm?nm?n在梯形中,△ODC∽△OBA,有DC?DO,即a?m ④

ABOBbnb 图(3)

D M A

a C h1

K N

h2 b S B

图(4)

将④代入③中消去m得: PQ=2ab,称PQ为“调和线”

na?b(4). 在梯形中,作MN∥AB与两腰相交于M、N;如图(4), 使得梯形 ABNM与梯形MNCD的面积相等,设MN=x, 则有

(a?x)h1(x?b)h2, ?22D a C h1x?b ⑤,在梯形中,△CKN∽△NSB,有h1?KN,即h1?x?a ⑥ P?h2a?xh2SBh2b?xG E 22h1x?bx?aM a?b由⑤,⑥可得?=,即MN=x=; 称MN为“面积线”

Q

H

F N

h2a?xb?x2归纳上述梯形的四条线段如图(5)可知,显然有:MN≥EF≥GH≥PQ

A 22即:a?b?a?b?ab?2ab 当且仅当a=b时,取“=”成立。

22a?bb 图(5)

B

此时的梯形就成为一个平行四边形。 三、构建函数单调性表示法

例如:函数f(x)=a?bx?1,可以证明该函在实数R上是增加的; ax?bxx?122于是就有:f(1)= a?b,f(0)= a?b,f(-1)=ab,f(-1)= 2ab

a?b22a?b22f(1)≥f(0)≥f(-1)≥f(-1) 即,a?b≥a?b≥ab≥2ab 当且仅当a=b时,取“=”成立。

2a?b2a?b22a?b?a?b?ab?2ab的证明方法有很多,譬如:代数证法(比较法,综合法,分析法)众其实,不等式

22a?b所周知,就不必说明了;《北师版·必修5》课本上的几何证法还有好多,阅读资料中,谈到2002年在北京召开的

222224届国际数学家大会的会标,会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的,会标图案中就蕴含着a?b≥a?ba?b2≥a?b≥ab≥2ab的存在,值得参考与借鉴。实在是太完美了,真是令人叫绝;在此我断定此不等式的表示方法

2a?b仅次于勾股定理的证明方法;这个基本不等式也可以说是一只生金蛋鸡,如何构造几何图形、如何构造函数,都有待于同仁们继续研究,发现其它的一些表示方法,挑战这样的工作可以启发人的思维能力,有着非常重要的意义。

新课程高中数学课堂教学中的案例(二)

----------对诱导公式中“α-π”的理解与应用

石河子第一中学 朱友忠

案例:“α-π”的理解

《北师版·必修4》P16 §4·3【三角函数《诱导公式》的新授课】诱导公式这节内容中出现了角“α-π”的诱导公式,那么怎样理解这个角“α-π”呢?

刚开始我接触角“α-π”总有些别扭,是因为在旧教材中用习惯了形如角“k???”k∈Z的三角函数诱导公

2式,在前面的旧教材中出现过,也没有直接把它纳入公式的范筹中;在新教材中解题时,常碰到形如:

sin(α-π)=sin[-(π-α)]=-sin(π-α)=-sinα; cos(α-π)=cos[-(π-α)]=cos(π-α)=-cosα; tan(α-π)=tan[-(π-α)]=-tan(π-α)=tanα;

等等都象上述那样至少要通过两次诱导公式进行转化而得到;我就在想,既然《北师版·必修4》教材中直接把它纳入到公式的范畴中,说明它是可以直接到位的。 y 在备课时,借助单位圆,如图所示我就仔细研究起来,在单位圆

α +π 中分别作出角α、角α+π、角α-π通过观察它们之间的关系,发现 α H′O H x 角α+π与角α-π的终边相同,即(α+π)-(α-π)=2π;这就说明 α-π 这两个角的三角函数值是相等的。即诱导公式如下:

sin(α±π)=-sinα; cos(α±π)=-cosα; tan(α±π)=tanα 把角α看作“锐角”,则角α+π与角α-π的终边都落在第三象限;还可以理解:角α-π加上2π也就得到角α+π(或加上2kπ,k∈Z)的结果了。真是大快人心的事情。

“α-π”的应用

角α-π加上2π(或加上2kπ,k∈Z)的应用(对正弦、余弦等三角函数的化简或求值比较快) 如《北师版·必修4》P17·例2 求下列各角的三角函数值中的两道题是: 第(1)题:sin(-7?)=sin(-7?+2π)=sin?=2 (而课本上的解答用了4步);

4442第(3)题:cos(-31?)=cos(-31?+6π)=cos5?=-3?(而课本上的解答用了4步);

6662P19·例3 第(2)题:sin(-55?)加上10π即可化简;(而课本上的解答用了5步);

6练习:判断下列各式函数值的符号, P20·A组中的第2题备选的题如:

①sin(-17?)加上4π即可化简;②cos(-23?)加上6π即可化简;③cos(-59?)加上4π即可化简;

5417P20·练习2中的第(3)题:已知sin(π+α)=1, 求sin(-3π+α)的值;

3只要在所求的式子的角度中加上4π即可求得结果。

P20·练习2中的第(4)题:化简①1+sin(α-2π)sin(α+π)-2cos2(?+α);

2在sin(α-2π) 的角度中加上2π即可化简。 P20·A组题中的第8题化简(2)小题:

sin(???)sin(3???)?sin(????)sin(??2?)sin(???)sin(3????2?)?sin(?????2?)sin(??2??2?)=

sin(4???)sin(5???)sin(4????4?)sin(5????4?)=

sin(???)sin(???)?sin(???)sin(?) 略

sin(??)sin(???)角α-π加上π(或加上kπ,k∈Z)的应用(对正切、余切等三角函数的化简或求值比较快) P39练习中第4题不求值比较两个正切函数值的大小:

00

(1)tan138与tan143

解:前、后两个式子分别减去1800都可以起到简化的作用; (2)tan(-13?)与tan(-17?)

45解:前面的式子加上4π、后面的式子加上3π就可以起到简化的作用;

P40 A组第10题求值:1?tan2(?37?)?2tan(?43?)只要在前面的式子加上6π、后面的式子加上7π就可以起

66到简化的作用;

练习:求下列各式函数值P40 A组备选题

0

①tan2400 减去1800 ②tan(-15740) 加上9·180

00

③tan6750+tan7650+tan(-690)+tan1080

小结:通过上述的实例对教材的研究和书本上的练习题的证实,很快化到最简,的确起到事半功倍之效;也就是说,对于绝对值较大角的正、余弦函数值一般加上2kπ(k∈Z);对于绝对值较大角的正、余切函数值一般加上kπ(k∈Z);上述事实只是我个人的看法,如果同仁们还有更好的见解也能展示出来与大家共同分享,是一件非常好得事,我也感到非常欣慰;新教材的研究需要大家共同探究、共同切磋,才能真正落实三维目标在授课中得到体现。

新课程高中数学课堂教学中的案例(三)

----------对一道例题的分析理解与拓展

石河子第一中学 朱友忠

案例:一道例题的分析理解与拓展

《北师版·必修4》P117 §3·2 【二倍角的三角函数新授课】 教材中的例4 题目:要把半径为R的半圆形的木料截成长方形如图(1)所示,应怎样截取, 才能使长方形面积最大? C α D O B A

分析:要求最值←必需建立函数←必需先确定自变量; 问题:面积的变化是由哪个长度发生变化而变化的呢?

方案一、因为A点在运动,说明OA的长度也在发生变化,此时

可设OA=x,连接OB=R,则AB=R2?x2,所以面积S=2xR2?x2(0

解得:S=2xR2?x2=2x2(R2?x2)=2?(x2?R)2?R(也可以用均值定理解决)

224当x2=R,即x=R时,所以面积Smax=R2;

22方案二、因为B点在运动,说明∠BOA的大小在发生变化而变化. ,此时可设∠BOA=α,OB=R, 则AB=Rsinα,OA=Rcosα,所以面积S=2OA·AB=2 Rcosα·Rsinα=R2sin2α;

当sin2α=1,即α=450时,所以面积Smax=R2; 小结反思:

1、代数法:以线段长为自变量,建立函数关系式,用代数方法求函数最值。 2、三角法:选择角度为自变量,建立函数关系式,用三角知识求函数最值;(适用于与旋转有关的问题)。 拓展一、《北师版·必修4》P127 B组第5题、题目:把一段半径为R的圆木如图(2)所示,锯成横截面为矩形的木料,试问怎样锯法才能使截面的面积最大?

分析一、代数法:设AB=x,x∈(0,2R),则BC=4R?x;

0

分析二、三角法:设∠CAB=α,α∈(0,90),则AB=2Rcosα,BC=2Rsinα

D A 分析三、几何法:作DE⊥AC,则S=AC·DE=2R·DE;

2

要使DE最大,即AB=BC时,面积Smax=2R 图(2)

拓展二、一段半径为R,圆心角为900的扇形木料如图(3)所示,锯成横截面为矩形的木料,试问怎样据法才能使截面的面积最大? C C D E 若按如图(4)的锯法:

D F B 方法1、代数法:略

α O 方法2、三角法:略 A A B 22C B E ·O α 方法3、几何法:利用对称性还原成圆木料。求得Smax=1R2

20

图(3)

图(4)

图(5)

若按如图(5)的锯法:设∠AOB=α,α∈(0,45)

000

采用三角法解:设∠AOB=α,α∈(0,45),则BE=Rsin(45-α),OE= Rcos(45-α),由图(5)可知,

00

OF=BE=AF,所以AB=FE=OE-OF=R[cos(45-α)-sin(45-α)]

2000

面积S=2BE·AB=2Rsin(45-α)[cos(45-α)-sin(45-α)]

00

=R2[sin(90-2α)-1+cos(90-2α)]

0

=R2[2sin(2α+45)-1]

当α=?时,面积Smax=(2-1)R2

8比较如图(4)的锯法与如图(5)的锯法,显然1R2>(2-1)R2

2所以要采用如图(4)的锯法面积最大。

拓展三、一段半径为R,圆心角为1200的扇形木料如图(6)所示,锯成横截面为矩形的木料,试问怎样锯法才能

C 使截面的面积最大?

E C D 若按如图(7)的据法:

B D F 方法1、代数法:略

1200 α α 方法2、三角法:略 O A B 图(6) 12图(7)

方法3、几何法:利用几何特性还原成圆木料。求得Smax=R

2A 图(8)

若按如图(8)的锯法:设∠AOB=α,α∈(0,60)

000

采用三角法解:设∠AOB=α,α∈(0,60),则BE=Rsin(60-α),OE= Rcos(60-α),由图(8)可知,

0

OF=3FA=3BE=3Rsin(60-α),

0

33300

所以AB=FE=OE-OF=R[cos(60-α)-3sin(60-α)]

300

=23R[3cos(60-α)-1 sin(60-α)]

3322 =23Rsinα

20

面积S=2BE·AB=43Rsin(60-α)sinα]= 23R2[3cosαsinα-sin2α]

33 =23R2[3sin2α-1?cos2?]=23R2[sin(2α+300)-1]

32232当2α+300=900时,即α=300,面积Smax=3R2

3比较如图(7)的锯法与如图(8)的锯法,显然3R2>1R2

32

所以要采用如图(8)的据法面积最大。

由上述推理计算过程,让我大胆猜测对半径R的扇形图,当扇形角在(00~1800]的范围内,两种截得的矩形面积下列图表成立:

两种裁剪方法对照表: 第一种裁剪法 ?? 300 最大面积S1 S1=? S1=? S1=3R6比较S1与S2的大小 S1>S2 S1>S2 最大面积S2 S2=? S2=? S2=(2-32)R S2=(2-1)R2 S2=? S2=1R2 2第二种裁剪法 ?? 300 600 600 2 S1>S2 S1=1R2 2 S1>S2 ?? 某个角α∈(00~1800] ?? S1=1R2 222S1>S2 S1=S2 S1

拓展四、将如图(3)的木料锯成如图(9)的形状,怎样锯才能使 四边形OABC的面积最大? C 00

解:设∠AOB=α,α∈(0,90),则BD=Rsinα,BE=Rcosα, E 所以SOABC=S△OAB+S△OCB=1R·Rsinα+1R·Rcosα

2222

=1R(sinα+cosα)=2Rsin(α+450)

222

当α+450=900,即α=450时,SOABC有最大值为2R

2O α B D A 图(9)

通过教材中的一道例题的理解与拓展,对三角知识加深了理解和应用,正是新课标的要求,使学生掌握基本知识与技能,体会学习的过程,同时领会数学思想方法,不仅增强了学生对数学学习的兴趣,而且树立了学生对数学学习有了良好的情感态度和价值观。

新课程高中数学课堂教学中的案例(四)

——-几种特殊的抽象函数在某点处的导数探究

石河子第一中学 朱友忠

案例:几种特殊的抽象函数在某点处的导数的求法

由于新课程标准对《导数》这一章内容概念的理解加大了力度,在一些课外参考书中也很少提到抽象函数在某点处的导数的求法;本文主要通过导数的定义研究抽象函数在某点处的导数的求法;进一步帮助同学们加深理解导数定义。下面以4种常见类型的抽象函数为例:

一、形如f(x+y)=f(x)+f(y)类型

例1、已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数,满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f′(0)=2,求当x=a时,f′(a)的导数.

解:令x=0代入f(x+y)=f(x)+f(y)中,得f(0)=0 由导数的定义,f′(a)=?limx?0f(a??x)?f(a)f(a)?f(?x)?f(a)f(?x)f(0??x)?0=?== limlimlimx?0?x?0?x?0?x?x?x?xf(0??x)?f(0)=?=f′(0)=2 limx?0?x所以,f′(a)=f′(0)=2

练习:已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数,满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,且f′(0)=0,求当x=e时,f′(e)的导数.(答:2e)

二、形如f(x+y)=f(x)·f(y)类型

例2、已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数,满足f(x+y)=f(x)·f(y),且f′(0)=1,f(1)=e,求当x=2时,f′(2)的导数.

解:令x=0,代入f(x+y)=f(x)·f(y)中,得f(0)=1;再令x=y=1代入f(x+y)=f(x)·f(y)中,得f(2)=e2

由导数的定义,f′(2)=?limx?0f(2??x)?f(2)f(2)f(?x)?f(2)f(?x)?1f(0??x)?f(0)=?=f(2)= limlimlimx?0?x?0?x?0?x?x?x?xf(0??x)?f(0)2

=f(2)?= f(2)·f′(0)=e limx?0?x所以,f′(2)= e2

练习:已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数,满足f(x+y)=f(x)·f(y)-xy,且f(x)>0, f(1)=2 f′(0)=1,求当x=2时,f′(2)的导数.(答:4)

三、形如f(x·y)=f(x)+f(y)类型

例3、已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数,满足f(x·y)=f(x)+f(y),且f′(1)=1,求当x=2时,f′(2)的导数.

解:令x=y=1代入f(x·y)=f(x)+f(y)中,得f(1)=0

f(2)?f(1??x)?f(2)f[2(1??x)]?f(2)f(2??x)?f(2)22limlim由导数的定义,f′(2)=?= ?=? limx?0x?0x?0?x?x?xf(1??x)?0f(1??x)?f(1)f(1??x)f(1??x)?f(1)222=lim2lim=?=?=1? limlimx?0?x?0x?0x?02?x?x?x?x2=1f′(1)=1 22所以,f′(2)=1

2练习:已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数,满足f(x)=f(x)-f(y),且f′(1)=1,求当x=e时,f′(e)的导

ln2y数.(答:1)

eln2四、形如f(x·y)=f(x)·f(y)类型

例4、已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数,满足f(x·y)=f(x)·f(y),且f(2)=4,f′(1)=2,求当x=2时,f′(2)的导数.

解:令x=1代入f(x·y)=f(x)·f(y)中,得f(1)=1,

f(2)f(1??x)?f(2)f[2(1??x)]?f(2)f(2??x)?f(2)22limlim由导数的定义,f′(2)=?=?=? limx?0x?0x?0?x?x?xf(1??x)?1f(1??x)?f(1)f(1??x)?f(1)222limlim=f(2)?=f(2)?=1f(2)? limx?0x?0x?02?x?x?x2=1f(2)f′(1)=4 2所以,f′(2)=4

练习:已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数,满足f(x·y)=2f(x)·f(y),且f(2)=2,f′(1)=1,求当x=2时,f′(2)的导数.(答:2)

五、归纳小结

通过常见的几种特殊的抽象函数类型,分别利用导数的定义研究了抽象函数在某点处的导数求法;在这里主要强调了导数的定义的求解方法;以上的求解方法都不是唯一的,比如说,每种类型的特殊函数是可以根据题意选定特殊的函数来替代,写出y=f(x)的解析式,再去求某点处的导数,方法也简单,同仁们不妨试试看,研究一下,绽放你的思维火花;抽象函数的形式有很多,值得大家去研究,是一件非常好的事,我也感到非常欣慰;新教材的研究需要大家共同探究、共同切磋,让成功的喜悦和大家一起分享。

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