陕西省石泉县高中数学第二章函数2.4二次函数性质的再研究2.4.3二次函数在闭区间上的最值教案北师大版必修1 

导读:§2.4.3课题:二次函数在闭区间上的最值,二次函数是重要的初等函数之一,很多问题都要化归为二次函数来处理,二次函数又与一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系,因此必须熟练掌握它的性质,并能灵活地运用它的性质去解决实际问题,二次函数在高考中占有重要的地位,而二次函数在闭区间上的最值在各个方面都有重要的应用,这节课我们主要学会应用二次函数的图像和性质求二次函数在闭区间上的最值,影响二次函数在

陕西省石泉县高中数学第二章函数2.4二次函数性质的再研究2.4.3二次函数在闭区间上的最值教案北师大版必修1 

§2.4.3课题:二次函数在闭区间上的最值

一、 教材分析 1、教学背景

二次函数是重要的初等函数之一,很多问题都要化归为二次函数来处理。二次函数又与一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系,因此必须熟练掌握它的性质,并能灵活地运用它的性质去解决实际问题。二次函数在高考中占有重要的地位,而二次函数在闭区间上的最值在各个方面都有重要的应用,主要考察我们分类讨论和数形结合思想。这节课我们主要学会应用二次函数的图像和性质求二次函数在闭区间上的最值。影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素:抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。 2、学情分析

从心理特征来说,高三学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展,观察能力,记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时,作为普通高中美术班的学生,学生层次参次不齐,个体差异比较明显。大部分学生接受能力较慢、注意力容易分散,学习数学的自信心和兴趣不够,所以在教学一方面运用直观生动的形象,引发学生的兴趣,使他们的注意力始终集中在课堂上;另一方面,要创造条件和机会,让学生发表见解,发挥学生学习的主动性,提高学生自信心。

从认知状况来说,学生在此之前已经复习了函数定义域、值域以及单调性,对二次函数的开口、对称轴已经有了初步的认识,这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础,但对于闭区间上“动对称轴和动区间”的二次函数最值,由于其抽象程度较高,学生可能会产生一定的困难,所以教学中应予以简单明白,深入浅出的分析。 3、教学重难点

重点:轴定区间定的闭区间上二次函数最值问题,轴变区间定的闭区间上二次函数最值,轴定区间变的闭区间上二次函数最值问题

难点:轴变区间定的闭区间上二次函数最值,轴定区间变的闭区间上二次函数最值问题 二、 教学目标分析

1. 会结合图像与函数的知识进行分类讨论,求解一元二次函数的最值问题,提高学生的综合能力,

培养学生良好的思维习惯,加深对数形结合、分类讨论等数学思想的认识。 2. 了解图像与函数的关系,进一步感受数形结合的基本思想。

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3. 经历从“轴动区间定”到“轴定区间动”的类比推理,培养学生类比推理能力;使学生养成积

极思考,独立思考的好习惯,并且同时培养学生的团队合作精神。 三、教学方法:类比推理法,讲授发现法 四、教学过程分析 1. 课前回顾

回顾:一元二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)的对称轴为__________,顶点为________。a?0时,

2f(x)?ax2?bx?c(a?0)在__________上是增函数;在__________上是减函数.

2. 精析例题

1) 轴定区间定:二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情况是“定二次

函数在定区间上的最值”。

例1. 函数f(x)?x?2x?3在下列区间上最值:

(1)x?? (2)x???3,?2? (3)x???2,2? (4)x??2,4? 【学情预设】

例1是最基本的题型,学生可以自己完成.(1)是学生非常熟悉的二次函数在的最值问题,在初中就已经解决过了;(2)、(3)、(4)依次是对称轴在闭区间右侧、内部、左侧的情形,通过观察图像,运用单调性的相关知识也可以解决.这里难度较大的是如何让学生讨论例出此类题型的最值的规律,故要借助图像引导学生总结出解法及规律.

2) 轴定区间变:二次函数是确定的,但它的定义域区间是随参数而变化的,我们称这种情况是“定

函数在动区间上的最值”。

例2. (1)如果函数f(x)?(x?1)?1定义在区间t,t?1上,求f(x)的最小值。 (2)如果函数f(x)?(x?1)?1定义在区间t,t?1上,求f(x)的最大值。 (3)如果函数f(x)?(x?1)?1定义在区间t,t?1上,求f(x)的最值。

解:分别设f(x)?x?2x?2在x?[t,t?1]上的最大、最小值分别为M(t)、m(t),则由对称轴为

222??2????2x?1,分4种情况讨论:

22(1)t?1?1,即t?0时,M(t)?f(t)?t-2t?2、m(t)?f(t?1)?t?1 2(2)t?1时,M(t)?f(t?1)?t?1、m(t)?f(t)?t2-2t?2

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,且1-t?t?1-1,即(3)0?t?11?t?1时, 2M(t)?f(t?1)?t2?1、m(t)?f(1)?1

,且1-t?t?1-1,即1?t?(4)0?t?11时, 2M(t)?f(t)?t2?2t?2、m(t)?f(1)?1

1?2?t2?1(t?0)t?2t?2(t?)???2综上,M(t)??,m(t)??1(0?t?1)

1?t2?1(t?)?t2?2t?2(t?1)???2

【学情预设】例2是难度较大的题型涉及到分类讨论以及字母的推理运算,因而通过三小问来分解难度。教师要借助几何画板引导学生观察出变化时相应的区间在变化,二次函数在闭区间t,t?1??上的图像也随着变化,从而影响到最值.教师注意和学生互动讨论并且在黑板上演示规范化解题的格式.学生对于是关于参数的函数较难理解,教师要注意用函数概念加以说明,此处也是让学生对函数概念螺旋式上升理解的一个具体例子. 学生讨论归纳例2的解题方法和规律时教师要引导学生注意分类讨论思想的应用.

【设计意图】启发学生类比轴变区间定的情形结合函数的图像和性质进行分类讨论,注意明确:如果两个自变量的值到对称轴的距离相等,则我们的函数值也相等,离对称轴的距离越远,我们的函数值越大的性质来求解函数的最大值的表达式。

3) 轴变区间定:二次函数随着参数的变化而变化,即其图象是运动的,但定义域区间是固定的,

我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

方法:结合二次函数的图象,讨论对称轴与区间的相对位置关系: 轴在区间右边 ②轴在区间左边 ③轴在区间内

例3. 已知f(x)?x?2tx?2在x?[0,1]上的最小值为g(t),求g(t)的解析式. 解:对称轴x?t,分三种情况讨论 (1)t?0时,g(t)?f(0)?0

2(2)0?t?1时,g(t)?f(t)?2?t

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(3)1?t时,g(t)?f(1)?3?2t

?2(t?0)?2综上,g(t)??2?t(0?t?1)

?3?2t(t?1)?【学情预设】例3是与例2有区别的另一类难度较大的题型,根据运动的相对性,学生可以对比例2的解题过程讨论出例3的解题方法和规律来. 如果时间允许,例3将为学生提供一次数学猜想、试验的机会. 例3设置的目的是为学生自主探究学习提供平台,当然,如果课堂上时间允许的话,可借助“多媒体课件”,引导学生对自己的结论进行验证.

【设计意图】例3通过讲解让学生体会解题过程中注意分哪几类讨论,做到不遗漏不重复,同时怎样结合图像求解函数的最值,并且引导学生注意解题的规范性.

3. 归纳整理

1) 二次函数在闭区间上的最值的求法:

四看(开口方向、相对位置、单调性、最值点)加一看(看图像). 2) 二次函数在闭区间上的最值的规律:

两大类(对称轴在闭区间内、外)

四小类(对称轴在闭区间左侧、右侧、内部靠近左端点、内部靠近右端点). 3) 本节课用到的数学思想:数形结合思想与分类讨论思想.

本节课涵盖了二次函数在闭区间上的最值中出现的常见问题,不论是正向型还是逆向型,设计中主要体现在它们总体解题思路是:1、确定开口;1、根据对称轴和区间的三种位置关系:(1)轴在区间右边;(2)轴在区间左边;(3)轴在区间内,根据这三种位置关系一一分类讨论并且结合二次函数图像及性质求解。在过程中我们运用了分类讨论、数形结合、转化化规三种重要的数学思想方法。 4. 课堂检测

1) 已知函数f(x)??x?2ax?1?a,x?[0,1]上的最值。

2) 已知函数f(x)?ax?2ax?1在区间[?3,2]上的最大值为4,求实数a的值。

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点评:这是一个逆向最值问题,若从求最值入手,本练习要求学生会求解已知二次函数在某区间上的最值时函数或区间中参数的取值,并可由此总结得到,不管是哪一类问题的关键都是确定开口和对称轴与区间的位置关系。 5. 结束语

数缺形时少直观,形少数时难入微.数形结合百般好,割裂分家万事非! ——华罗庚 【设计意图】借助名人名言再次强调数形结合思想的重要性.

6. 作业设计

(一)课后习题A组一一必做题

1) 函数y??x?8x在下列区间上最值:

(1)x???6,0? (3)x??2,6? (4)x??7,10? 2) 函数f(x)?x2?2x?3,x??t,t?2?,求函数f(x)的最值。 3) 函数f(x)?x2?ax?3,x???2,2?,求函数f(x)的最值。

【设计意图】学生应用探究所得知识解决相关问题,进一步巩固和提高二次函数在闭区间上最值的求解方法与规律.本节课是由实例引入的,课后让学生思考完成实例,从而达到学以致用、解决实际问题的目的.

(二)课后习题B组一一选做题 4) 已知f(x)?x?ax?

5) 如何求函数f(x)?ax?2ax?1,x???1,2?的最值?

2222a,在区间[0,1]上的最大值为g(a),求g(a)的最小值。 2

【设计意图】让部分学有余力的同学积极去完成,培养学生的探索精神.

五、板书设计

闭区间上二次函数的最值问题 1)轴定区间定

2)轴变区间定 例3过程 5

2)轴定区间变 例2过程

六、教学设计说明

一方面二次函数在闭区间上的最值是高中数学中的重点内容,也是困扰学生的一个难点和教师教学的一个难点,因为在解题过程中渗透着学生不太容易掌握的分类讨论、数形结合等重要的数学思想方法. 另一方面,二次函数在闭区间上的最值属于程序性知识,需要教师运用理性的教学方法,让学生在认知单调性与最值等相关知识的基础上熟练掌握二次函数在闭区间上最值问题的一般解法和规律.哈尔莫斯曾说过 问题是数学的 “心脏”,根据教学实际,我将本节课设计为数学探究课.在探究的过程中,借助于多媒体教学手段,让学生观察几何画板中的动态演示,通过对二次函数图像的“再认识”,探究二次函数在闭区间上的最值;运用“探究——讨论”模式,使学生运用单调性与最值的知识既巩固了函数的单调性与最大(小)值的知识,又突破了二次函数在闭区间上的最值这一重点.

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