统计学数字特征

导读:数值特征定义性质X的分布律为P{X?xk,}?pk,数值特征定义性质X的分布律为P{X?xk,}?pk,若级数?xkpk??离k?1k?N??散E(X):?xp?xp?xp???xp?????kk1122nn型k?称为离散型随机变量X的数学期望或算数期期望望。连续性随机变量X的概率密度函数fX(x),若连无穷积分?|x|fX(x)dx??则称??续??性E(X):??xfX(x)dx????绝

统计学数字特征

数值特征 定义 性质 X的分布律为P{X?xk,}?pk,若级数?xkpk??离k?1k?N??散E(X):?xp?xp?xp???xp?????kk1122nn型 k?称为离散型随机变量X的数学期望或算数期期望 望。 连续性随机变量X的概率密度函数fX(x),若连无穷积分?|x|fX(x)dx??则称 ??续??性 E(X):??xfX(x)dx ????绝对收敛,即?|xk|pk????|xk|pk?0则????k?11. 常数的期望是其本身,即 E(C)?C C?const 2. 数乘的传递性分别由级数和积分的传递性决定,即 E(CX)?CE(X)。 3. 和的分配率,即E(X?Y)?E(X)?E(Y) 4. 随机变量X与Y相互独立,则积的期望等于各自期望的乘积,即E(XY)?E(X)?E(Y) 为连续型随机变量X的数学期望或算数期望。 1. 方差计算式:D(X)?E(X2)?E(X)2。 X为随机变量,若期望E(X?E(X))2存在,即对离2. 常数的方差为D(C)?0 C?const 0,即散型随机变量,级数?(xk?E(X))2pk??收敛,或方对连续型随机变量,无穷积分差 ??2(x?E(X))f(x)dx??绝对收敛,则此期望成为???3. 4. D(CX)?C2D(X)D(X?Y)?D(X)?D(Y)? 2E((X?E(X))(Y?E(Y))随机变量X的方差,记为 D(X)?Var(X)?E(X?E(X))2。 5. 当且仅当X与Y相互独立时D(X?Y)?D(X)?D(Y) 1. 随机变量X的方差即是X与自身的协方差,即D(X)?Cov(X,X) 2. 对称性Cov(X,Y)?Cov(Y,X) 随机变量X,Y的离差(与各自数学期望的差)乘3. 随机变量和的方差可用协方差简写为协积的数学期望称为X与Y的协方差,记为 平方和的形式,即 方Cov(X,Y)?E(X?E(X))(Y?E(Y))D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y) 差 ?E(XY)?E(X)E(Y)4. 线性性质为 Cov(aX?b,cY?d)?acCov(X,Y) 5. 分配率为 Cov(X1?X2,Y)?Cov(X1,Y)?Cov(X2,Y)6. 当X与Y相互独立时,协方差为0 1. 相关系数或协方差为0,即称???(X,Y)?0?Cov(X,Y)?0时,X与Y不相关。 随机变量X,Y的相关系数定义为 相???(X,Y):?Cov(X,Y)D(X)D(Y)关 系Cov(X,Y) ?数 ?1?2相关系数为无量纲的数。 2. X与Y独立,则相关系数?(X,Y)?0。即随机变量独立是不相关的充分(而非必要)条件。 3. ?1??(X,Y)?1。 4. |?(X,Y)|?1的充要条件是X与Y(以概率1)存在线性关系:Y?aX?b,且a?0时?(X,Y)?1,a?0时?(X,Y)??1。 随机变量X的k次方的数学期望 vk:?E(Xk),E|X|k?? 称为X的k阶原点矩。 ?k:?E(|X|)?? k称为X的k阶绝对原点矩 原对于离散和连续型随机变量,其具体计算公式分别点是: 矩 离散型随机变量: E(Xk)??xikpi, E(|X|k)??|xi|kpi 连续型随机变量: (Xk)??????xkf(x)dx, E(|X|k)??|xk|f(x)dx ????特别地,当k?1时,一阶原点矩即是数学期望。 随机变量X与其数学期望(作为中心)差的k次方 的数学期望 E(X?E(X))k,E|X?E(X)|k?? 称为随机变量的k阶中心距,即 中离散型随机变量: 心E(X?E(X))k??(xi?E(X))kpi 矩 i连续型随机变量: E(X?E(X))k??(x??)kf(x)dx ????特别地,当k?2时,二阶中心即是方差。

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