全国高中数学联赛模拟训练题

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全国高中数学联赛模拟训练题

全国高中数学联赛模拟试题(七)

第一试

一、选择题:(每小题6分,共36分)

1、a、b是异面直线,直线c与a所成的角等于c与b所成的角,则这样的直线c有

(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)无数条 2、已知f(x)是R上的奇函数,g(x)是R上的偶函数,若f(x)?g(x)=x2+2x+3,则f(x)+g(x)= (A)?x2+2x?3 (B)x2+2x?3 (C)?x2?2x+3 (D)x2?2x+3

3、已知△ABC,O为△ABC内一点,∠AOB=∠BOC=∠COA=2?

3

,则使AB+BC+CA

≥m(AO+BO+CO)成立的m的最大值是 (A)2

(B)53

(C)3

(D)2

4、设x=0.820.5,y=sin1,z=log37则x、y、z的大小关系是 (A)x<y<z

(B)y<z<x (C)z<x<y (D)z<y<x

5、整数??101995?

?1095?3??

的末尾两位数字是(A)10

(B)01

(C)00

(D)20

6、设(a,b)表示两自然数a、b的最大公约数.设(a,b)=1,则(a2+b2,a3+b3)为 (A)1 (B)2 (C)1或2 (D)可能大于2

二、填空题:(每小题9分,共54分)

1、若f(x)=x10+2x9?2x8?2x7+x6+3x2+6x+1,则f(2?. 2、设F1、F2是双曲线x2?y2=4的两个焦点,P是双曲线上任意一点,从F1引∠F1PF2

平分线的垂线,垂足为M,则点M的轨迹方程是 . 3、给定数列{xn},x1=1,且xn?1n?1?

3x?x,则x1999?x601.

n

4、 正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1,E是CD中点,F是BB1中点,则四面体

AD1EF的体积是

5、在坐标平面上,由条件???y??x?1

??

y??2x?3所限定的平面区域的面积是 .

6、12个朋友每周聚餐一次,每周他们分成三组,每组4人,不同组坐不同的桌子.若

要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子,则至少需要 周.

三、(20分)已知椭圆x2y

2

a2?b2?1过定点A(1,0),且焦点在x轴上,椭圆与曲线|y|=x的交点为B、C.现有以A为焦点,过B、C且开口向左的抛物线,抛物线的顶点坐标M(m,0).当椭圆的离心率e满足

2

3

?e2?1,求实数m的取值范围. 四、(20分)a、b、c均为实数,a≠b,b≠c,c≠a.

证明:3

2≤a?b?2c?b?c?2a?c?a?2ba?b?b?c?c?a

<2.

五、(20分)

已知f(x)=ax4+bx3+cx2+dx,满足

(i)a、b、c、d均大于0;(ii)对于任一个x∈{?2, ?1,0,1,2},f(x)为整数;(iii)f(1)=1,f(5)=70. 试说明,对于每个整数x,f(x)是否为整数.

第二试

一、(50分)设K为△ABC的内心,点C1、B1分别为边AB、AC的中点,直线AC与

C1K交于点B2,直线AB于B1K交于点C2.若△AB2C2于△ABC的面积相等,试求∠CAB.

二、(50分)设w?cos??

5?isin5

,f(x)=(x?w)(x?w3)(x?w7)(x?w9).

求证:f(x)为一整系数多项式,且f(x)不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积.

三、(50分)在圆上有21个点.求在以这些点为端点组成的所有的弧中,不超过120°的弧的条数的最小值.

参考答案

第一试

二、填空题:

1、4; 2、x2+y2=4;3、0;

4、

24

;5、16;

6、5.

三、??1,3?2?

?4??.四、证略.五、是.第二试一、60°;二、证略.三、100.

??

全国高中数学联赛模拟试题(八)

第一试

一、选择题:(每小题6分,共36分)

1、设logab是一个整数,且log1

a

b

?logab?logba2,给出下列四个结论 ①1

b

??a2;②logab+logba=0;③0<a<b<1;④ab?1=0.

其中正确结论的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2、若△ABC的三边长a、b、c满足??a2?a?2b?2c?0?

a?2b?2c?3?0,则它的最大内角度数是

(A)150° (B)120° (C)90° (D)60° 、定长为l(l?2b2a)的线段AB的两端点都在双曲线x2y2

3a2?b

2?1(a>0,b>0),

则AB中点M的横坐标的最小值为

(A)al2a2?b2 (B)a?l(a?l?2a?a?l?2a?2a2?b2C)2a2?b2 (D)2a2?b

2

4、在复平面上,曲线z4+z=1与圆|z|=1的交点个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

5、设E={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}、F={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x?4}是直角坐标平面上的

两个点集,则集合G=?????x1?x2?2,y1?y2?2???x?F?

1,y1??E,?x2,y2??所组成的图形面?

积是 (A)6 (B)2? (C)6.5 (D)7

6、正方形纸片ABCD,沿对角线AC对折,使D在面ABC外,这时DB与面ABC所成的角一定不等于 (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°

二、填空题:(每小题9分,共54分)

1、已知??

?

,则

nsi?nsi?nsi?nsi24cos4?cos3??cos3?cos2??cos2?cos???

cos?的值等于.

2、1?11?2?11?2?3???11?2?3???2004

3、在Rt△ABC中,AB=AC,以C为一个焦点作一个椭圆,使这个椭圆的另一个焦点在AB内,且椭圆过A、B点,则这个椭圆的离心率等于

4、从{1,2,3,?,20}中选出三个数,使得没有两个数相邻,有

5、设a、b均为正数,且存在复数z满足???z?z?z?a?bi?,则ab的最大值等于 .

?z?16、使不等式

815?nn?k?7

13

对惟一的一个整数k成立的最大正整数n为 . 三、(20分)已知实数x、y满足x2+y2≤5.求f(x,y)=3|x+y|+|4y+9|+|7y?3x?18|的最大值与最小值. 四、(20分)经过点M(2,?1)作抛物线y2=x的四条弦PiQi(i=1,2,3,4),且P1、P2、P3、

PPMPMPMPM

4四点的纵坐标依次成等差数列.求证:1MQ?2?3?4.

1MQ2MQ3MQ4

五、(20分)n为正整数,r>0为实数.证明:方程xn+1+rxn?rn+1=0没有模为r的复数

根.

第二试

一、(50分)设C(I)是以△ABC的内心I为圆心的一个圆,点D、E、F分别是从I出

发垂直于边BC、CA和AB的直线C(I)的交点.

求证:AD、BE和CF三线共点.

二、(50分)非负实数x、y、z满足x2+y2+z2=1.求证:1≤xyz

1?yz?1?zx?

1?xy

≤2. 三、(50分)

对由n个A,n个B和n个C排成的行,在其下面重新定义一行(比上面一

行少一个字母),若其头上的两个字母不同,则在该位置写上第三个字母;若相同,则写上该字母.对新得到的行重复上面的操作,直到变为一个字母为止.下面给出了n=2的一个例子.

A C B C B A B A A A C C A A B B A C C B A

求所有的正整数n,使得对任意的初始排列,经上述操作后,所得的大三角形的三个顶点上的字母要么全相同,要么两两不同.

参考答案

第一试

二、填空题:1、

3

; 2、40082005;3、6?3; 4、816;5、18;

6、112.

三、最大值27?65,最小值27?.四、证略.五、证略.

第二试

一、证略;二、证略.三、 n=1.

全国高中数学联赛模拟试题(九)

第一试

一、选择题:(每小题6分,共36分)

1、已知n、s是整数.若不论n是什么整数,方程x2?8nx+7s=0没有整数解,则所有

这样的数s的集合是 (A)奇数集 (B)所有形如6k+1的数集 (C)偶数集 (D)所有形如4k+3的数集

2、某个货场有1997辆车排队等待装货,要求第一辆车必须装9箱货物,每相邻的4辆车装货总数为34箱.为满足上述要求,至少应该有货物的箱数是 (A)16966 (B)16975 (C)16984 (D)17009 3、非常数数列{ai}满足a2i?1?aiai?1?a2i?0,且ai?1?ai?1,i=0,1,2,?,n.对于给定的

n?1

自然数n,a1=an+1=1,则?ai等于(A)2 (B)?1

(C)1 (D)0

i?0

4、已知?、?是方程ax2

+bx+c=0(a、b、c为实数)的两根,且?是虚数,?2

?

是实数,

5985

k

则?????????的值是(A)1 (B)2

(C)0

(D)3i

k?1??

5、已知a+b+c=abc,A?

?1?b2

??1?c2

?2

1?c2

?2

2

bc

??1?a??ac

??1?a??1?b?ab

,则A的值是 (A)3 (B)?3 (C)4

(D)?4

n

6、对xi∈{1,2,?,n},i=1,2,?,n,有?xn?n?1?i?

i?2

,x1x2?xn=n!,使x1,x2,?,xn,一1

定是1,2,?,n的一个排列的最大数n是 (A)4 (B)6 (C)8

(D)9

二、填空题:(每小题9分,共54分)

1、设点P是凸多边形A1A2?An内一点,点P到直线A1A2的距离为h1,到直线A2A3的距离为h2,?,到直线An-1An的距离为hn-1,到直线AnA1的距离为hn.若存在点P使

a1ah?a2

???nh(ai=AiAi+1,i=1,2,?,n?1,an=AnA1)取得最小值,则此1h2n

凸多边形一定符合条件 .

2、已知a为自然数,存在一个以a为首项系数的二次整数系数的多项式,它有两个小于1的不同正根.那么,a的最小值是 .

3、已知F?a,???a2?2asin??2

a2?2acos??2

,a、?∈R,a≠0.那么,对于任意的a、?,F(a,?)

的最大值和最小值分别是 .

4、已知t>0,关于x的方程为x?t?x2

?2,则这个方程有相异实根的个数情况是 .

5、已知集合{1,2,3,?,3n?1,3n},可以分为n个互不相交的三元组{x,y,z},其中x+y=3z,则满足上述要求的两个最小的正整数n是 .

6、任给一个自然数k,一定存在整数n,使得xn+x+1被xk+x+1整除,则这样的有序实数对(n,k)是(对于给定的k) .

三、(20分)过正方体的某条对角线的截面面积为S,试求S

最大S之值.

最小

四、(20分)数列{an}定义如下:a1=3,an=3an?1

(n≥2).试求an(n≥2)的末位数. 五、(20分)已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1.

证明:

13

27

≤a2+b2+c2+4abc<1. 第二试

一、(50分)已知△ABC中,内心为I,外接圆为⊙O,点B关于⊙O的对径点为K,

在AB的延长线上取点N,CB的延长线上取M,使得MC=NA=s,s为△ABC的半周长.证明:IK⊥MN. 二、(50分)M是平面上所有点(x,y)的集合,其中x、y均是整数,且1≤x≤12,1≤y≤13.证明:不少于49个点的M的每一个子集,必包含一个矩形的4个顶点,且此矩形的边平行于坐标轴. 三、(50分)实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c满足b<0,ab=9c.试判别此多项式是否有三个不同的实根,说明理由.

参考答案

第一试

3、2?3,2?; 4、9;5、5,8; 6、(k,k)或(3m+2,2)(m∈N+)

. 三、

23

3

.四、7.五、证略. 第二试一、证略;二、证略.三、 有.

全国高中数学联赛模拟试题(十)

第一试

一、选择题:(每小题6分,共36分)

1、设集合M={?2,0,1},N={1,2,3,4,5},映射f:M→N使对任意的x∈M,都有x+f(x)+xf(x)

是奇数,则这样的映射f的个数是(A)45 (B)27 (C)15 (D)11 2、已知sin2?=a,cos2?=b,0<?<?4,给出tan?

??

????4??值的五个答案: ①

ba1?b1?aa?b?1?a; ②1?b; ③a; ④b;⑤1

a?b?1. 其中正确的是:(A)①②⑤ (B)②③④ (C)①④⑤ (D)③④⑤

3、若干个棱长为2、3、5的长方体,依相同方向拼成棱长为90的正方体,则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是 (A)64 (B)66 (C)68 (D)70

4、递增数列1,3,4,9,10,12,13,?,由一些正整数组成,它们或者是3的幂,或者是若

干个3的幂之和,则此数列的第100项为 (A)729 (B)972 (C)243

(D)981

5、C1594m?1

?n?1?n?Cn?Cn???Cn(其中m???4??

,[x]表示不超过x的最大整数)的值为 (A)2ncos

n?

4

(B)2nsin

n?

4

(C)1?2??2n?1?2ncosn??4??

(D)1?2?n???2n?1?2nsin4??

6、一个五位的自然数abcde称为“凸”数,当且仅当它满足a<b<c,c>d>e(如12430,13531等),则在所有的五位数中“凸”数的个数是

(A)8568 (B)2142 (C)2139 (D)1134

二、填空题:(每小题9分,共54分)

1、过椭圆x23?y2

2

?1上任意一点P,作椭圆的右准线的垂线PH(H为垂足),并延长PH到Q,使得HQ=?PH(?≥1).当点P在椭圆上运动时,点Q的轨迹的离

心率的取值范围是 .

2、已知异面直线a、b所成的角为60°,过空间一点P作与a、b都成角?(0<?<90°)的直线l,则这样的直线l的条数是f(?. 3、不等式

4x2?2x?9的解集为 .

1?

?2x

2

4、设复数z满足条件|z?i|=1,且z≠0,z≠2i,又复数?使得??2i??z

z?2i

为实数,则复数??2的辐角主值的取值范围是 . 5、设a1,a2,?,a2002均为正实数,且

12?a?1???1?1

,则a1a2?a2002

12?a22?a20022

的最小值是 .

6、在一个由十进制数字组成的数码中,如果它含有偶数个数字8,则称它为“优选”数码(如12883,787480889等),否则称它为“非优选”数码(如2348756,958288等),则长度不超过n(n为自然数)的所有“优选”数码的个数之和为 .

三、(20分)已知数列{an}是首项为2,公比为1

2

的等比数列,且前n项和为Sn.

(1) 用Sn表示Sn+1;

(2) 是否存在自然数c和k,使得

Sk?1?c

S>2成立. k?c

四、(20分)设异面直线a、b成60°角,它们的公垂线段为EF,且|EF|=2,线段AB

的长为4,两端点A、B分别在a、b上移动.求线段AB中点P的轨迹方程.

五、(20分)已知定义在R+上的函数f(x)满足

(i)对于任意a、b∈R+,有f(ab)=f(a)+f(b);(ii)当x>1时,f(x)<0;(iii)f(3)=?1.

现有两个集合A、B,其中集合A={(p,q)|f(p2+1)?f(5q)?2>0,p、q∈R+},集合

B={(p,q)|f(pq

)+1

2=0,p、q∈R+}.试问是否存在p、q,使A?B??,说明理由.

第二试

一、(50分)如图,AM、AN是⊙O的切线,M、N是切点,L是劣弧MN上异于M、

N的点,过点A平行于MN的直线分别交ML、NL于点Q、P.若S2?⊙O?

3

S△POQ,

求证:P

∠POQ=60°. Q

二、(50分)

已知数列a1=20,a2=30,an+2=3an+1?an(n≥1).求所有的正整数n,使得1+5anan+1是完全平方数.

三、(50分)设M为坐标平面上坐标为(p·2002,7p·2002)的点,其中p为素数.求满足下列条件的直角三角形的个数:

(1) 三角形的三个顶点都是整点,而且M是直角顶点; (2) 三角形的内心是坐标原点.

参考答案

第一试

?

?0,0????30?

1、???2、f??????1,??30??2,30????60?;3、?1??45?

?3,1??; ?

????2,0???0,?;

?3,??60?

??8???4,0????90?

4、?????4?2002

1?10n?18n?1142?3,???;5、4002; 6、2???9?7?63??. ?

三、(1)S1x2

n?1?2Sn?2; (2)不存在.四、

9

?y2?1.五、不存在. 第二试

一、证略;二、n=3.三、 p≠2,7,11,13时,324个;p=2时,162个;p=7,11,13时,180

个.

2007年全国高中数学竞赛模拟试卷 一、选择题

1、二次函数y?ax2?b与一次函数y?ax?b(a?b)在同一个直角坐标系的图像为( )

yyyy

O

O 2、已知数列ABC?an?

满足a1?a,a2?b,an?2?an?1?an(n?N*)。Sn是?an?的前n项的和,

则a2004?S2004等于( ) A、a?b B、a?b C、?a?b D、?a?b

3、在(2?x)2n?1的展开式中,x的幂指数是整数的各项系数之和为( )

A、32n?1?1; B、32n?1; C、1?32n?1; D、1

2

(32n?12?1)

4、在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中,满足条件a1?a2,a3?a2, a3?a4,a5?a4的排列个数是( )

A、10; B、12; C、14; D、16.

5、直线y?mx?3与抛物线C1:y?x2?5mx?4m,C2:y?x2?(2m?1)x ?m2?3,C3:y?x2?3mx?2m?3中至少有一条相交,则m的取值范围 是( )

A、m?3

8

或m??2 B、m??1或m??12

C、m?R D、以上均不正确

6、若关于x的不等式x2?ax?6a?0有解,且解集的区间长不超过5个单位,满足上述要求的a的最大值为Ma、最小值为ma,则Ma-ma等于( ) A、1 B、24 C、25 D、26

7、k?R,则方程组??y?kx?2k?1

2y?18x?16y?11?0

( ) ?9x?42

A、有且仅有一组实数解

B、有且仅有两组不同的实数解

C、有两组解,但不一定都是实数解 D、由于k为参数,以上情况均有可能出现

8、锐角△ABC中,BC?a,CA?b,AB?c,且a?b?c,分别以BC,CA,AB边上的高AD,BE,CF为折线,将三角形折成平面角均为?(0????)的二面角,记折叠后的四面体ABCD,ABCE,ABCF体积方便为V1,V2,V3,则下面结论正确的是( ) A、V1?V2?V3 B、V1?V2?V3

C、V1?V3?V2或V3?V1?V2 D、V1,V2,V3大小不能确定

9、有九条直线,其中每一条都将一平行四边形分割成面积比为2:3的两个四边形,那么这九条直线( )

A、存在这样的九条直线;没有两条过同一个点; B、至少有两条过同一个点; C、至少有三条过同一个点; D、至少有四条过同一个点; 5

10、设xi?R,xi?0(i?1,2,3,4,5)

?x

i

?1,则max?x1?x2,x2?x3,x3?x4 ,x4?x5?的最

i?1

小值等于( )

A、14 B、13 C、16 D、1

4

二、填空题

11、设a为实数,集合A???a,a2,a2?a?,B???1,?1?a,1?a2?

,A?B??,则A?B?__. 12、f(x)是定义在(??,??)上的偶函数,且f(1?x)?f(1?x),f(x)在x?(0,1)上是增函数,则f(8.1)与f(?3.8)的大小关系是____________________.

13、已知向量?a?3?b与7?a?5?b垂直,?a?4b?与7?a?2b?垂直,则向量?a??b与?

b的夹角是______.

14、已知sin(a?2?)sina?3,且??1?2k?,a???n??2,nk?)Z,则atn(a?)?

atn?

的值是____.

15、设a,b,c,d为已知常数,且b?c?d?0,要使

x?a?x?a?b?x?a?b?c?x?a?b?c?x?a?b?c?d?x?a?b?c?d为常数,

则x的取值范围是____________________.

16、如图,长方体ABCD-A1B1C1D1,

D1CAB?a,BC?b,A1

1A?c,E为D1C1中点,若平面A1BC1A

1

与平面

ACE所成二面角的平面角为?,则1

Sin??____________________. c

17、若?x?表示不超过x的最大整

数(如

DC

b

?1.3?

?1,????21?4

??

??

3等等)则A????? =____________________.

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