2007年河南宏力学校初一数学竞赛试题

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2007年河南宏力学校初一数学竞赛试题

2007年河南宏力学校初一数学竞赛试题

(时间:8月22日下午14:30—16:30,满分120分)

一.选择题(每小题4分,共32分)

1.x是任意实数,则2|x|+x 的值 ( ). A.大于零 B. 不大于零 C.小于零 D.不小于零

2.在-0.1428中用数字3替换其中的一个非0数码后,使所得的数最大,则被替换的数字是( ) A.1 B.4 C.2 D.8

3.如图,在数轴上1

A、B, A是线段BC的中点,则点C所表示的数是 ( )

A

.2? B

2 C

1 D

.1x

4.x?2?x?2?x?1的最小值是 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

5.若m<0,n>0,m+n<0,则m,n,-m,-n这四个数的大小关系是 ( ) A.m>n>-n>-m B.-m>n>-n>m C.m>-m>n>-n D.-m>-n>n>m 6.计算:(1?

1111)(1?)(1?)???(1?)等于 ( ) 22222342007

1004100320082006A. B. C. D.

2007200720072007

7.如图,三个天平的托盘中相同的物体质量相等。图⑴、⑵所示的两个天平处于平衡状态要使第三个天平也保持平衡,则需在它的右盘中放置 ( )

(1)

(2)(3)

A. 3个球 B. 4个球 C. 5个球 D. 6个球

8.用火柴棒搭三角形时,大家都知道,3根火柴棒只能搭成1种三角形,不妨记作它的边长分别为1,1,1;4根火柴棒不能搭成三角形;5根火柴棒只能搭成一种三角形,其边长分别为2,2,1;6根火柴棒只能搭成一种三角形,其边长分别为2,2,2;7根火柴棒只能搭成2种三角形,其边长分别为3,3,1和3,2,2;?;那么30根火柴棒能搭成三角形个数是 ( )

A.15 B.16 C.18 D.19 二.填空题(每题4分,共28分)

9.定义a*b=ab+a+b,若3*x=31,则x的值是____ _. 10.当x=-7时,代数式ax?bx?cx?3的值为7,其中a、b、c为常数,当x=7时,这个代数式的值是 .

11.若A、B、C、D、E五名运动员进行乒乓球单循环赛(即每两人赛一场),比赛进行一段时间后进行过的场次数与队员的对照统计表如下:

7

5

3

那么与E进行过比赛的运动员是 .

12. 某班

45人参加一次数学比赛,结果有35人答对了第一题,有27人答对了第二题,有41人答对了第三题,有38人答对了第四题,则这个班四道题都对的同学至少有.

13. 已知 S=12-22+32-42+??+20052-20062+20072,则S除以2005的余数是_____________.

14.长度相等而粗细不同的两支蜡烛,其中一支可燃3小时,另一支可燃4小时。将这两支蜡烛同时点燃,当余下

的长度中,一支是另一支的3倍时,蜡烛点燃了___________小时.

nk215.定义一种对正整数n的“F”运算:①当n为奇数时,结果为3n+5;②当n为偶数时,结果为(其中k是

n

k2使为奇数的正整数),并且运算重复进行.例如,取n=26,则:

26

44 11 ?

第一次 第三次

若n=49,则第449次“F运算”的结果是_____________.

三.解答题(共60分,要求写出解题的主要步骤)

16.(本题满分10分)某夏令营共8名营员,其中3人来自甲校,3人来自乙校,2人来自丙校.在一项游乐活动中,他们分乘4辆2座位的游乐车.为加强校际间交流,要求同一学校的营员必须分开乘车,每一辆车上的营员必须来自不同的学校.问这能够做到吗?若能,请设计一个乘车方案;若不能,请说明理由.

F②

F②

17.(本题满分10分)9. 右图中,在长方形内画了一些直线,已知边上有三13,35,49.求图中阴影部分的面积?

块面积分别是

18.(本题满分12分)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如: 4=22-02,

12=42-22,

20=62-42,

因此4,12,20这三个数都是神秘数.

(1) 28和2 012这两个数是神秘数吗?为什么?

(2) 设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么? (3) 两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么? 19.(本题满分14分)将正整数按右表所示的规律排列,并把排在左起第m列,上起第n行的数记为以amn,(1)试用m表示am1 ,用n表示a1n . (2)当m=10,n=12时,求amn的值。

20.(本题满分14分)三位男子A、B、C带着他们的妻子a、b、c到超市购物,至于谁是谁的妻子就不知道了,只能从下列条件来推测:他们6人,每人花在买商品的钱数(单位:元)正好等于商品数量的平方,而且每位丈夫都比自己的妻子多花48元钱,又知A比b多买9件商品,B比a多买7件商品。试问:究竟谁是谁的妻子?

2007年河南宏力学校初中七年级数学竞赛参考答案

二、9.7 10.-13 11.A和B 12. 6人。考虑最坏的情况就 是错的题都不是同一人。13.3 14.

8

15.98 3

三、解答题:16. 解:能.乘车方案如下: 17.解:如图,由于

?35?x?49???13?y??长方形面积的一半=

x

x?S阴影?y

,所以

S阴影?35?49?13?97.

18.解:(1) 找规律: 4=4×1=22-02,

12=4×3=42-22, 20=4×5=62-42, 28=4×7=8-6, ??

2 012=4×503=5042-5022,所以28和2 012都是神秘数.(6分)

第(1)问评分:只要写出28=82-62(或2 012=5042-5022)就可得3分;确定28和2 012是神秘数但没有理由,各得1分 (2) (2k+2)2-(2k)2=4(2k+1), 因此由这两个连续偶数2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数. ( 8分) (3)由(2)知,神秘数可以表示成4(2k+1),因为2k+1是奇数,因此神秘数是4的倍数,但一定不是8的倍数.(9分) 另一方面,设两个连续奇数为2n+1和2n-1,则(2n+1)2-(2n-1)2=8n,(10分)即两个连续奇数的平方差是8的倍数.

因此,两个连续奇数的平方差不是神秘数.(12分)(第(3)问评分注:通过几个特例来说明两个连续奇数的平方差不是神秘数,可以得2分;只有猜想“两个连续奇数的平方差不是神秘数”也得1分) 19.解:观察表中正整数的排列规律,可知:

(1)当m为奇数时,am1=m; (2分) 当m为偶数时,am1

=(m-1)+1; (4分)当n为偶数时,a1n=n; (6分)当n为奇数时,a1n=(n-1)+1.(8分)(2)当m=1O,n=12时,amn是左起第10列的上起第12行所以的数, (10分) 由(1)及表中正整数的排列规律可知,上起第12行的第1个数为12=144. (12分) 第12行中,自左往右从第1个数至第12个数依次递减1,所以所求的amn为135. (14分) 20.(本题满分14分)

解:设一对夫妻,丈夫买了x件商品,妻子买了y件商品.

2

2

2

2

2

y

22

于是有x-y=48,即(x十y)(x-y)=48. 4分

2

2

因x、y都是正整数,且x+y与x-y有相同的奇偶性, 又x+y>x-y,48=24×2=12×4=8×6, ∴?

?x?y?24?x?y?12?x?y?8

或?或?. 7分

?x?y?2?x?y?4?x?y?6

可得x=13,y=11或x=8,y=4或x=7,y=1. 9分 符合x-y=9的只有一种,可见A买了13件商品,b买了4件. 同时符合x-y=7的也只有一种,可知B买了8件,a买了1件. 所以C买了7件,c买了11件. 12分 由此可知三对夫妻的组合是:A、c;B、b;C、a. 14分

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